设 f(x) 在 [0,2] 上连续且 f(0)=f(2)，证明：必存在一点 xi in (0,2)，使 f(xi)=f(xi+1)。

我们来证明这个题目：

题目：
设函数 $ f(x) $ 在区间 $[0,2]$ 上连续，且满足 $ f(0) = f(2) $。
证明：必存在一点 $ \xi \in (0,2) $，使得
$f(\xi) = f(\xi + 1)$

解题思路：

我们要找一个点 $ \xi \in (0,2) $，使得 $ f(\xi) = f(\xi + 1) $。
注意：由于 $ \xi \in (0,2) $，那么 $ \xi + 1 \in (1,3) $。
但函数 $ f(x) $ 只在 $[0,2]$ 上有定义，因此 $ \xi + 1 $ 必须不超过 2，即 $ \xi \leq 1 $。

所以 $ \xi \in (0,1] $，这样 $ \xi + 1 \in (1,2] $，都在定义域内。

于是我们只需在区间 $[0,1]$ 上寻找这样的点。

构造辅助函数：

定义一个新函数 $ g(x) $，定义在区间 $[0,1]$ 上，如下：

$g(x) = f(x + 1) - f(x), \quad x \in [0,1]$

由于 $ f(x) $ 在 $[0,2]$ 上连续，所以 $ f(x+1) $ 在 $[0,1]$ 上也连续（因为 $ x+1 \in [1,2] $），因此 $ g(x) $ 是两个连续函数的差，故 $ g(x) $ 在 $[0,1]$ 上连续。

分析 $ g(x) $ 的值：

我们计算 $ g(0) $ 和 $ g(1) $：

• $ g(0) = f(1) - f(0) $
• $ g(1) = f(2) - f(1) $

但题目给出：$ f(0) = f(2) $，所以：

$g(1) = f(2) - f(1) = f(0) - f(1) = - (f(1) - f(0)) = -g(0)$

即：
$g(1) = -g(0)$

分情况讨论：

情况 1： $ g(0) = 0 $

则 $ f(1) - f(0) = 0 $，即 $ f(1) = f(0) $

此时我们看 $ \xi = 0 $ 是否满足 $ f(\xi) = f(\xi + 1) $，即 $ f(0) = f(1) $，成立。

但 $ \xi = 0 $ 不在开区间 $ (0,2) $ 内，不符合要求。

不过我们还可以看 $ \xi = 1 $：
$ f(1) = f(2) $？不一定。但我们知道 $ f(0) = f(2) $，而 $ f(1) = f(0) $，所以 $ f(1) = f(2) $，即 $ f(1) = f(2) $，所以
$ f(1) = f(1+1) $，即 $ \xi = 1 $ 满足条件。

而 $ \xi = 1 \in (0,2) $，满足！

所以此时取 $ \xi = 1 $ 即可。

情况 2： $ g(0) \ne 0 $

则 $ g(0) $ 与 $ g(1) = -g(0) $ 异号。

即：$ g(0) > 0 $ 时，$ g(1) < 0 $；反之亦然。

由于 $ g(x) $ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $ g(0) $ 与 $ g(1) $ 异号，根据介值定理，存在某个 $ \xi \in (0,1) $，使得
$g(\xi) = 0$

即：
$f(\xi + 1) - f(\xi) = 0 \quad \Rightarrow \quad f(\xi) = f(\xi + 1)$

而 $ \xi \in (0,1) \subset (0,2) $，满足条件。

总结：

• 若 $ g(0) = 0 $，则 $ f(0) = f(1) $，结合 $ f(0) = f(2) $，得 $ f(1) = f(2) $，取 $ \xi = 1 \in (0,2) $，有 $ f(\xi) = f(\xi + 1) $
• 若 $ g(0) \ne 0 $，则 $ g(0) $ 与 $ g(1) $ 异号，由介值定理，存在 $ \xi \in (0,1) \subset (0,2) $，使得 $ g(\xi) = 0 $，即 $ f(\xi) = f(\xi+1) $

结论：

无论哪种情况，都存在 $ \xi \in (0,2) $，使得
$f(\xi) = f(\xi + 1)$

证毕。

答案：
$\boxed{\text{存在 } \xi \in (0,2) \text{ 使得 } f(\xi) = f(\xi + 1)}$