题目
4.设(X,Y)为二维随机变量，且D(X)>0,D(Y)>0，则下列等式成立的是（）A.E(XY)=E(X)·E(Y) B.Cov(X,Y)=ρXY·sqrt(D(X))·sqrt(D(Y))C.D(X+Y)=D(X)+D(Y) D.Cov(2X,2Y)=2Cov(X,Y)
4.设(X,Y)为二维随机变量，且D(X)>0,D(Y)>0，则下列等式成立的是（）
A.E(XY)=E(X)·E(Y) B.Cov(X,Y)=ρXY·$\sqrt{D(X)}·\sqrt{D(Y)}$
C.D(X+Y)=D(X)+D(Y) D.Cov(2X,2Y)=2Cov(X,Y)
题目解答
答案
答案：B
解析：
- 选项A：$E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$仅在$X$与$Y$独立时成立，题目未明确独立性，排除。
- 选项B：由相关系数定义$\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}}$，整理得$\text{Cov}(X, Y) = \rho_{XY} \cdot \sqrt{D(X)} \cdot \sqrt{D(Y)}$，正确。
- 选项C：方差公式$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X, Y)$，仅当$\text{Cov}(X, Y) = 0$（不相关）时成立，排除。
- 选项D：协方差性质$\text{Cov}(aX, bY) = ab \text{Cov}(X, Y)$，故$\text{Cov}(2X, 2Y) = 4 \text{Cov}(X, Y)$，错误。
答案：B