题目

2.设X_(1),...,X_(n)是来自总体X的一个样本，且Xsim N(0,sigma^2)，overline(X)为样本均值，则(1)/(sigma)sum_(i=1)^n(X_(i))/(sqrt(n))sim_____.

2.设$X_{1},\cdots,X_{n}$是来自总体X的一个样本，且$X\sim N(0,\sigma^{2})$，$\overline{X}$为样本均值，则$\frac{1}{\sigma}\sum_{i=1}^{n}\frac{X_{i}}{\sqrt{n}}\sim$_____.

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要确定随机变量$\frac{1}{\sigma} \sum_{i=1}^{n} \frac{X_i}{\sqrt{n}}$的分布。让我们一步步来分析。 1. **识别样本均值$\overline{X}$:** 样本均值$\overline{X}$定义为: \[ \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \] 2. **将给定的表达式用$\overline{X}$表示:** 给定的表达式是: \[ \frac{1}{\sigma} \sum_{i=1}^{n} \frac{X_i}{\sqrt{n}} \] 我们可以重写求和为: \[ \sum_{i=1}^{n} \frac{X_i}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i = \sqrt{n} \cdot \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i = \sqrt{n} \overline{X} \] 因此，表达式变为: \[ \frac{1}{\sigma} \sum_{i=1}^{n} \frac{X_i}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sigma} \sqrt{n} \overline{X} = \frac{\sqrt{n} \overline{X}}{\sigma} \] 3. **确定$\overline{X}$的分布:** 由于$X_1, X_2, \ldots, X_n$是来自正态分布$N(0, \sigma^2)$的独立同分布样本，样本均值$\overline{X}$也服从正态分布，其均值为0，方差为$\frac{\sigma^2}{n}$。也就是说: \[ \overline{X} \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n}\right) \] 4. **确定$\frac{\sqrt{n} \overline{X}}{\sigma}$的分布:** 如果$\overline{X} \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，那么$\sqrt{n} \overline{X} \sim N\left(0, \sigma^2\right)$。因此，$\frac{\sqrt{n} \overline{X}}{\sigma} \sim N\left(0, 1\right)$。 所以，$\frac{1}{\sigma} \sum_{i=1}^{n} \frac{X_i}{\sqrt{n}}$的分布是标准正态分布。答案是: \[ \boxed{N(0,1)} \]

解析

考查要点：本题主要考查样本均值的分布性质及正态分布的线性变换特性。

解题核心思路：

  1. 识别表达式与样本均值的关系：将题目中的求和表达式转化为样本均值$\overline{X}$的线性组合。
  2. 利用正态分布的性质：根据样本均值$\overline{X}$的分布，通过线性变换推导出最终变量的分布。

破题关键点：

  • 样本均值的分布：若总体$X \sim N(0, \sigma^2)$，则$\overline{X} \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。
  • 标准化变换：通过系数调整将$\overline{X}$的分布转化为标准正态分布。

  1. 表达式化简：
    原式为$\frac{1}{\sigma} \sum_{i=1}^{n} \frac{X_i}{\sqrt{n}}$，可变形为：
    $\frac{1}{\sigma} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n} X_i = \frac{1}{\sigma \sqrt{n}} \cdot n \overline{X} = \frac{\sqrt{n} \overline{X}}{\sigma}.$

  2. 确定$\overline{X}$的分布：
    由于$X_i \sim N(0, \sigma^2)$，样本均值$\overline{X}$服从：
    $\overline{X} \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n}\right).$

  3. 标准化变换：
    对$\overline{X}$进行线性变换：
    $\frac{\sqrt{n} \overline{X}}{\sigma} \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n} \cdot n \cdot \frac{1}{\sigma^2}\right) = N(0, 1).$