题目

1.设函数z=}(xy)/(sqrt(x^2)+y^{2)),x^2+y^2neq0,0,x^2+y^2=0,.则f(x,y)在点(0,0)处( )。A. 连续但偏导数不存在B. 不连续但偏导数存在C. 偏导数存在但不可微D. 偏导数存在且可微

1.设函数$z=\left\{\begin{matrix}\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},x^{2}+y^{2}\neq0,\\0,x^{2}+y^{2}=0,\end{matrix}\right.$则f(x,y)在点(0,0)处( )。

A. 连续但偏导数不存在

B. 不连续但偏导数存在

C. 偏导数存在但不可微

D. 偏导数存在且可微

题目解答

答案

C. 偏导数存在但不可微

解析

本题主要考查函数在某点的连续性、偏导数存在性以及可微性的判断。解题思路是按照连续性、偏导数存在性、可微性的定义依次进行判断。

  1. 判断函数在点$(0,0)$处的连续性：
    • 函数在某点连续的定义为$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$。
    • 对于本题，需要计算$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$，已知$f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},&x^{2}+y^{2}\neq0\\0,&x^{2}+y^{2}=0\end{cases}$。
    • 利用不等式$0\leq\left|\frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right|\leq\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{2}$，这是因为$(\vert x\vert-\vert y\vert)^2\geq0$，展开可得$x^2 - 2\vert xy\vert + y^2\geq0$，即$2\vert xy\vert\leq x^2 + y^2$，所以$\vert xy\vert\leq\frac{x^2 + y^2}{2}$，进而$\left|\frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right|\leq\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{2}$。
    • 当$(x,y)\to(0,0)$时，$\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{2}\to0$，根据夹逼准则，可得$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0$，而$f(0,0)=0$，所以$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)$，函数在点$(0,0)$处连续。
  2. 判断函数在点$(0,0)$处的偏导数是否存在：
    • 偏导数$f_x(0,0)$的定义为$f_x(0,0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}$。
    • 已知$f(\Delta x,0)=\frac{\Delta x\times0}{\sqrt{(\Delta x)^2 + 0^2}} = 0$，$f(0,0)=0$，则$f_x(0,0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{0 - 0}{\Delta x}=0$。
    • 同理，偏导数$f_y(0,0)$的定义为$f_y(0,0)=\lim_{\Delta y\to0}\frac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}$。
    • 已知$f(0,\Delta y)=\frac{0\times\Delta y}{\sqrt{0^2 + (\Delta y)^2}} = 0$，$f(0,0)=0$，则$f_y(0,0)=\lim_{\Delta y\to0}\frac{0 - 0}{\Delta y}=0$。
    • 所以函数在点$(0,0)$处的偏导数存在。
  3. 判断函数在点$(0,0)$处是否可微：
    • 函数$z = f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可微的定义为$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)\Delta x - f_y(x_0,y_0)\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}} = 0$。
    • 对于本题，$x_0 = 0$，$y_0 = 0$，$f_x(0,0)=0$，$f_y(0,0)=0$，则$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0)-f_x(0,0)\Delta x - f_y(0,0)\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}=\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\frac{\Delta x\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}-0 - 0\times\Delta x - 0\times\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}=\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\Delta x\Delta y}{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$。
    • 令$\Delta y = k\Delta x$，则$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\Delta x\Delta y}{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x\times k\Delta x}{(\Delta x)^2 + (k\Delta x)^2}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{k\Delta x^2}{(1 + k^2)\Delta x^2}=\frac{k}{1 + k^2}$，极限值与$k$有关，即沿不同路径趋近时极限值不同，极限不存在，所以函数在点$(0,0)$处不可微。