对于任意两个随机变量 X 和 Y ，若cov ( X , Y ) = 0， 则 （）A .D ( XY ) = D ( X ) D ( Y ) B. D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) C. x 和 y 相互独立 D. x 和 y 不相互独立

考查要点：本题主要考查协方差为零时随机变量的相关性与独立性之间的关系，以及方差的性质。

解题核心思路：

1. 协方差为零仅说明两个随机变量不相关，但无法直接推断它们是否独立（因为不相关不一定独立，独立则一定不相关）。
2. 方差的性质中，$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{cov}(X,Y)$，当协方差为零时，公式简化为$D(X+Y) = D(X) + D(Y)$。

破题关键点：

• 明确区分“不相关”与“独立”的关系。
• 熟练运用方差的加法公式。

选项分析：

1. 选项A：$D(XY) = D(X)D(Y)$

   • 方差的乘积公式不成立。即使协方差为零，$D(XY)$还与期望值相关，无法简化为$D(X)D(Y)$。因此错误。

2. 选项B：$D(X+Y) = D(X) + D(Y)$

   • 根据方差加法公式：
     $D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{cov}(X,Y)$
     当$\text{cov}(X,Y) = 0$时，公式简化为$D(X+Y) = D(X) + D(Y)$，因此正确。

3. 选项C：$X$和$Y$相互独立

   • 协方差为零仅说明不相关，但不相关不一定独立。题目未限定随机变量类型，因此无法确定独立性，错误。

4. 选项D：$X$和$Y$不相互独立

   • 同理，协方差为零可能出现在独立的情况下（独立一定不相关），因此错误。