题目
(X_(1),X_(2),...,X_(n))为来自总体Xsim P(lambda)的一个样本，lambda为未知参数，则lambda的矩估计量和最大似然估计量分别为overline(X)和overline(X).A 对B 错A. 对B. 错
$(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$为来自总体$X\sim P(\lambda)$的一个样本，$\lambda$为未知参数，则$\lambda$的矩估计量和最大似然估计量分别为$\overline{X}$和$\overline{X}$.
A 对
B 错
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：矩估计量的推导
对于泊松分布 $P(\lambda)$，其期望值 $E(X) = \lambda$。矩估计量是通过用样本矩来估计总体矩。因此，用样本均值 $\overline{X}$ 来估计总体均值 $\lambda$，即 $\hat{\lambda}_{\text{矩}} = \overline{X}$。
步骤 2：最大似然估计量的推导
泊松分布的概率质量函数为 $P(X_i = x_i) = \frac{\lambda^{x_i} e^{-\lambda}}{x_i!}$。似然函数为 $L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \frac{\lambda^{x_i} e^{-\lambda}}{x_i!}$。取对数似然函数 $\ell(\lambda) = \sum_{i=1}^{n} \left( x_i \ln \lambda - \lambda - \ln x_i! \right)$。对 $\lambda$ 求导并令导数为零，得到 $\frac{d\ell(\lambda)}{d\lambda} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{\lambda} - n = 0$，解得 $\lambda = \overline{X}$。因此，最大似然估计量为 $\hat{\lambda}_{\text{MLE}} = \overline{X}$。
步骤 3：结论
两种估计量均为 $\overline{X}$，故题目正确。
对于泊松分布 $P(\lambda)$，其期望值 $E(X) = \lambda$。矩估计量是通过用样本矩来估计总体矩。因此，用样本均值 $\overline{X}$ 来估计总体均值 $\lambda$，即 $\hat{\lambda}_{\text{矩}} = \overline{X}$。
步骤 2：最大似然估计量的推导
泊松分布的概率质量函数为 $P(X_i = x_i) = \frac{\lambda^{x_i} e^{-\lambda}}{x_i!}$。似然函数为 $L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \frac{\lambda^{x_i} e^{-\lambda}}{x_i!}$。取对数似然函数 $\ell(\lambda) = \sum_{i=1}^{n} \left( x_i \ln \lambda - \lambda - \ln x_i! \right)$。对 $\lambda$ 求导并令导数为零，得到 $\frac{d\ell(\lambda)}{d\lambda} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{\lambda} - n = 0$，解得 $\lambda = \overline{X}$。因此，最大似然估计量为 $\hat{\lambda}_{\text{MLE}} = \overline{X}$。
步骤 3：结论
两种估计量均为 $\overline{X}$，故题目正确。