题目

38.(填空题，1.9分)D(X)=4，D(Y)=9，ρ_(XY)=0.5，则D(X-Y)=____.

38.(填空题，1.9分) D(X)=4，D(Y)=9，$ρ_{XY}$=0.5，则D(X-Y)=____.

题目解答

答案

为了求解 $D(X-Y)$，我们需要使用随机变量差的方差公式。两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 的差的方差 $D(X-Y)$ 可以表示为： \[D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2 \cdot \text{Cov}(X, Y)\] 其中，$\text{Cov}(X, Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差。协方差可以通过相关系数 $\rho_{XY}$ 和 $X$、$Y$ 的标准差来计算： \[\text{Cov}(X, Y) = \rho_{XY} \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y\] 已知 $D(X) = 4$，$D(Y) = 9$，$\rho_{XY} = 0.5$，我们首先计算 $X$ 和 $Y$ 的标准差： \[\sigma_X = \sqrt{D(X)} = \sqrt{4} = 2\] \[\sigma_Y = \sqrt{D(Y)} = \sqrt{9} = 3\] 接下来，我们计算协方差 $\text{Cov}(X, Y)$: \[\text{Cov}(X, Y) = \rho_{XY} \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y = 0.5 \cdot 2 \cdot 3 = 3\] 现在，我们将 $D(X)$，$D(Y)$，和 $\text{Cov}(X, Y)$ 代入 $D(X-Y)$ 的公式中： \[D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2 \cdot \text{Cov}(X, Y) = 4 + 9 - 2 \cdot 3 = 4 + 9 - 6 = 7\] 因此，$D(X-Y)$ 的值为 $\boxed{7}$。

解析

考查要点：本题主要考查随机变量线性组合的方差计算，涉及协方差与相关系数的关系。

解题核心思路：

  1. 方差公式：利用$D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y)$展开计算。
  2. 协方差与相关系数的关系：通过$\text{Cov}(X,Y) = \rho_{XY} \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y$将已知相关系数转化为协方差。
  3. 标准差计算：由方差求标准差，即$\sigma_X = \sqrt{D(X)}$，$\sigma_Y = \sqrt{D(Y)}$。

破题关键点：

  • 正确应用方差公式，注意符号（减号导致协方差前系数为$-2$）。
  • 准确代入协方差表达式，避免相关系数与标准差的计算错误。

步骤1：写出方差公式
根据方差性质，$D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y)$。

步骤2：计算协方差
协方差与相关系数的关系为：
$\text{Cov}(X,Y) = \rho_{XY} \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y$
其中，$\sigma_X = \sqrt{D(X)} = \sqrt{4} = 2$，$\sigma_Y = \sqrt{D(Y)} = \sqrt{9} = 3$，代入得：
$\text{Cov}(X,Y) = 0.5 \cdot 2 \cdot 3 = 3$

步骤3：代入方差公式
将已知值代入公式：
$D(X-Y) = 4 + 9 - 2 \cdot 3 = 13 - 6 = 7$