求lim_(n to infty) (1)/(n^2) prod_(i=1)^2n (n+i)^(1)/(n).
求$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \prod_{i=1}^{2n} (n+i)^{\frac{1}{n}}$.
题目解答
答案
我们来求解这个极限：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \prod_{i=1}^{2n} (n+i)^{\frac{1}{n}}$
第一步：理解表达式结构
观察这个表达式：
- 分母是 $ n^2 $
- 分子是一个乘积：$ \prod_{i=1}^{2n} (n+i)^{1/n} $
我们可以把整个表达式写成：
$\frac{1}{n^2} \cdot \left( \prod_{i=1}^{2n} (n+i) \right)^{1/n}$
第二步：对乘积取对数
为了简化乘积，我们对乘积取自然对数：
$\ln \left( \prod_{i=1}^{2n} (n+i)^{1/n} \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} \ln(n+i)$
所以整个表达式的对数是：
$\ln \left( \frac{1}{n^2} \prod_{i=1}^{2n} (n+i)^{1/n} \right) = -2 \ln n + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} \ln(n+i)$
第三步：处理求和部分
我们来处理这个求和：
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} \ln(n+i)$
令 $ x_i = \frac{i}{n} $，那么 $ i = 1, 2, \dots, 2n $ 对应于 $ x_i = \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \dots, \frac{2n}{n} = 2 $
所以：
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} \ln(n+i) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} \ln\left(n \left(1 + \frac{i}{n}\right)\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} \left( \ln n + \ln\left(1 + \frac{i}{n}\right) \right)$
$= \frac{1}{n} \left( 2n \ln n + \sum_{i=1}^{2n} \ln\left(1 + \frac{i}{n}\right) \right) = 2 \ln n + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} \ln\left(1 + \frac{i}{n}\right)$
所以整个对数表达式变为：
$-2 \ln n + 2 \ln n + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} \ln\left(1 + \frac{i}{n}\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} \ln\left(1 + \frac{i}{n}\right)$
第四步：将求和转化为积分
注意到这是一个黎曼和的形式：
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} \ln\left(1 + \frac{i}{n}\right) \approx \int_0^2 \ln(1 + x) \, dx$
因为当 $ n \to \infty $，$ \frac{i}{n} $ 在区间 $ [0, 2] $ 上均匀分布。
所以：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} \ln\left(1 + \frac{i}{n}\right) = \int_0^2 \ln(1 + x) \, dx$
我们来计算这个积分：
$\int_0^2 \ln(1 + x) \, dx$
令 $ u = 1 + x $，则 $ du = dx $，积分变为：
$\int_1^3 \ln u \, du = [u \ln u - u]_1^3 = (3 \ln 3 - 3) - (1 \ln 1 - 1) = 3 \ln 3 - 3 + 1 = 3 \ln 3 - 2$
第五步：回到原极限
我们有：
$\ln \left( \frac{1}{n^2} \prod_{i=1}^{2n} (n+i)^{1/n} \right) \to 3 \ln 3 - 2$
所以原极限为：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \prod_{i=1}^{2n} (n+i)^{1/n} = e^{3 \ln 3 - 2} = \frac{3^3}{e^2} = \frac{27}{e^2}$
✅ 最终答案：
$\boxed{\frac{27}{e^2}}$
解析
本题主要考察数列极限的计算，解题思路是通过对原式取对数将乘积形式转化为求和形式，再利用黎曼和将求和转化为定积分进行计算，最后通过指数运算得到原极限的值。
- 理解表达式结构：
原式为$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \prod_{i=1}^{2n} (n+i)^{\frac{1}{n}}$，可将其写成$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \cdot \left( \prod_{i=1}^{2n} (n+i) \right)^{\frac{1}{n}}$。 - 对乘积取对数：
对$\left( \prod_{i=1}^{2n} (n+i) \right)^{\frac{1}{n}}$取自然对数，根据对数性质$\ln a^b = b\ln a$和$\ln(ab)=\ln a+\ln b$可得：
$\ln \left( \prod_{i=1}^{2n} (n+i)^{\frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} \ln(n+i)$
那么$\ln \left( \frac{1}{n^2} \prod_{i=1}^{2n} (n+i)^{\frac{1}{n}} \right) = \ln\frac{1}{n^2}+\ln \left( \prod_{i=1}^{2n} (n+i)^{\frac{1}{n}} \right)= -2 \ln n + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} \ln(n+i)$。 - 处理求和部分：
对$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} \ln(n+i)$进行化简，令$x_i = \frac{i}{n}$，则$i = 1, 2, \dots, 2n$对应于$x_i = \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \dots, \frac{2n}{n} = 2$。
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} \ln(n+i) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} \ln\left(n \left(1 + \frac{i}{n}\right)\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} \left( \ln n + \ln\left(1 + \frac{i}{n}\right) \right)$
根据求和的分配律$\sum_{i=1}^{m}(a_i+b_i)=\sum_{i=1}^{m}a_i+\sum_{i=1}^{m}b_i$可得：
$\frac{1}{n} \left( 2n \ln n + \sum_{i=1}^{2n} \ln\left(1 + \frac{i}{n}\right) \right) = 2 \ln n + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} \ln\left(1 + \frac{i}{n}\right)$
所以$\ln \left( \frac{1}{n^2} \prod_{i=1}^{2n} (n+i)^{\frac{1}{n}} \right)= -2 \ln n + 2 \ln n + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} \ln\left(1 + \frac{i}{n}\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} \ln\left(1 + \frac{i}{n}\right)$。 - 将求和转化为积分：
当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} \ln\left(1 + \frac{i}{n}\right)$是函数$f(x)=\ln(1 + x)$在区间$[0, 2]$上的黎曼和，根据定积分的定义可得：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} \ln\left(1 + \frac{i}{n}\right) = \int_0^2 \ln(1 + x) \, dx$
计算定积分$\int_0^2 \ln(1 + x) \, dx$，令$u = 1 + x$，则$du = dx$，积分变为$\int_1^3 \ln u \, du$。
根据分部积分法$\int udv=uv-\int vdu$，令$u = \ln u$，$dv = du$，则$du=\frac{1}{u}du$，$v = u$，可得：
$\int_1^3 \ln u \, du = [u \ln u - u]_1^3 = (3 \ln 3 - 3) - (1 \ln 1 - 1) = 3 \ln 3 - 3 + 1 = 3 \ln 3 - 2$ - 回到原极限：
因为$\ln \left( \frac{1}{n^2} \prod_{i=1}^{2n} (n+i)^{\frac{1}{n}} \right) \to 3 \ln 3 - 2$，根据对数函数的连续性，可得：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \prod_{i=1}^{2n} (n+i)^{\frac{1}{n}} = e^{3 \ln 3 - 2} = \frac{3^3}{e^2} = \frac{27}{e^2}$