题目
2.设X服从正态分布N(μ,σ°),X1,X2,···,Xn是来自X的样本.X,Sn^2分别为样-|||-本均值与样本方差,则方差 (2overline (X)-({S)_(n)}^2)= __-|||-:D(2overline (X)-({S)_(n)}^2)=dfrac (4{sigma )^2}(r)+dfrac (2(n-1){sigma )^-4}({n)^2} 或
题目解答
答案
2.设X服从正态分布N () ^2),X1,X2,···,xn是来自X的样本.X,Sn^2分别为样本均值与样本方差,则方差 $D(2\overline {X}-{{S}_{n}}^{2})=$ __$AnS:D(2\overline {X}-{{S}_{n}}^{2})=\dfrac {4{\sigma }^{2}}{n}+\dfrac {2(n-1){\sigma }^{4}}{{n}^{2}}$或4D反
2.设X服从正态分布N () ^2),X1,X2,···,xn是来自X的样本.X,Sn^2分别为样本均值与样本方差,则方差 $D(2\overline {X}-{{S}_{n}}^{2})=$ __$AnS:D(2\overline {X}-{{S}_{n}}^{2})=\dfrac {4{\sigma }^{2}}{n}+\dfrac {2(n-1){\sigma }^{4}}{{n}^{2}}$或4D反
2.设X服从正态分布N () ^2),X1,X2,···,xn是来自X的样本.X,Sn^2分别为样本均值与样本方差,则方差 $D(2\overline {X}-{{S}_{n}}^{2})=$ __$AnS:D(2\overline {X}-{{S}_{n}}^{2})=\dfrac {4{\sigma }^{2}}{n}+\dfrac {2(n-1){\sigma }^{4}}{{n}^{2}}$或4D反
解析
步骤 1：计算 $D(2\overline {X})$
由于 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。因此，$2\overline{X}$ 的方差为 $D(2\overline{X}) = 4D(\overline{X}) = 4 \times \frac{\sigma^2}{n} = \frac{4\sigma^2}{n}$。
步骤 2：计算 $D({{S}_{n}}^{2})$
样本方差 $S_n^2$ 的方差为 $D(S_n^2) = \frac{2(n-1)\sigma^4}{n^2}$。这是因为 $S_n^2$ 的分布为 $\chi^2$ 分布，其方差为 $2(n-1)\sigma^4$，而 $S_n^2$ 是 $\chi^2$ 分布的缩放版本，缩放因子为 $\frac{1}{n}$，因此 $D(S_n^2) = \frac{2(n-1)\sigma^4}{n^2}$。
步骤 3：计算 $D(2\overline {X}-{{S}_{n}}^{2})$
由于 $2\overline{X}$ 和 $S_n^2$ 是独立的，因此 $D(2\overline{X}-S_n^2) = D(2\overline{X}) + D(S_n^2) = \frac{4\sigma^2}{n} + \frac{2(n-1)\sigma^4}{n^2}$。
由于 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。因此，$2\overline{X}$ 的方差为 $D(2\overline{X}) = 4D(\overline{X}) = 4 \times \frac{\sigma^2}{n} = \frac{4\sigma^2}{n}$。
步骤 2：计算 $D({{S}_{n}}^{2})$
样本方差 $S_n^2$ 的方差为 $D(S_n^2) = \frac{2(n-1)\sigma^4}{n^2}$。这是因为 $S_n^2$ 的分布为 $\chi^2$ 分布，其方差为 $2(n-1)\sigma^4$，而 $S_n^2$ 是 $\chi^2$ 分布的缩放版本，缩放因子为 $\frac{1}{n}$，因此 $D(S_n^2) = \frac{2(n-1)\sigma^4}{n^2}$。
步骤 3：计算 $D(2\overline {X}-{{S}_{n}}^{2})$
由于 $2\overline{X}$ 和 $S_n^2$ 是独立的，因此 $D(2\overline{X}-S_n^2) = D(2\overline{X}) + D(S_n^2) = \frac{4\sigma^2}{n} + \frac{2(n-1)\sigma^4}{n^2}$。