题目
2. 在均匀外电场中置入半径为 R0 的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差 Φ0 ；（2）导体球上带总电荷 Q
2. 在均匀外电场中置入半径为 R0 的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差 Φ0 ；（2）导体球上带总电荷 Q
题目解答
答案
解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场 E0 方向的轴线，取该轴线为极轴，球心为原点建立球坐标系。当 R>R0 时，电势 ϕ 满足拉普拉斯方程，通解为因为无穷远处 E→ E0 ， ϕ→ϕ0−E0 Rcosθ=ϕ0−E0 RP1(cosθ)所以 a0=ϕ0 ， a1=−E0 ， an=0 ,(n≥2)当 R→R0 时， ϕ→Φ0bn所以ϕ0−E0 R0 P1(cosθ)+∑nR0n+1 Pn(cosθ)=Φ0即： ϕ0+b0/R0=Φ0 ,b1/ R02=E0R0所以 b0=R0(Φ0−ϕ0),b1=E0 R03,bn=0,(n≥2)（2）设球体待定电势为 Φ0 ，同理可得当 R→R0 时，由题意，金属球带电量 Q所以 (Φ0−ϕ0)=Q/4 πε0 R0
解析
步骤 1：建立坐标系和方程
由于问题具有轴对称性，我们选择球坐标系，其中球心为原点，极轴为外电场 E0 的方向。在球坐标系中，电势 ϕ 满足拉普拉斯方程，即 ∇²ϕ = 0。对于 R > R0 的区域，电势 ϕ 的通解可以表示为：
ϕ(R, θ) = ∑[n=0 to ∞] (an R^n + bn R^(-n-1)) Pn(cosθ)
其中 Pn(cosθ) 是勒让德多项式，an 和 bn 是待定系数。
步骤 2：确定无穷远处的边界条件
在无穷远处，电场 E0 方向的电势 ϕ 应该趋于 ϕ0 - E0 R cosθ。因此，我们有：
ϕ(R, θ) → ϕ0 - E0 R cosθ = ϕ0 - E0 R P1(cosθ) (当 R → ∞)
这表明 a0 = ϕ0，a1 = -E0，an = 0 (n ≥ 2)。
步骤 3：确定导体球表面的边界条件
在导体球表面 R = R0，电势 ϕ 应该等于 Φ0。因此，我们有：
ϕ(R0, θ) = Φ0
将通解代入，得到：
ϕ0 - E0 R0 P1(cosθ) + ∑[n=0 to ∞] (bn / R0^(n+1)) Pn(cosθ) = Φ0
通过比较系数，可以确定 b0 = R0 (Φ0 - ϕ0)，b1 = E0 R0^3，bn = 0 (n ≥ 2)。
步骤 4：计算带电导体球的电势
对于带总电荷 Q 的导体球，我们首先假设球体的电势为 Φ0。根据电荷守恒，球体的总电荷 Q 可以表示为：
Q = 4πε0 R0 (Φ0 - ϕ0)
因此，我们有：
Φ0 - ϕ0 = Q / (4πε0 R0)
由于问题具有轴对称性，我们选择球坐标系，其中球心为原点，极轴为外电场 E0 的方向。在球坐标系中，电势 ϕ 满足拉普拉斯方程，即 ∇²ϕ = 0。对于 R > R0 的区域，电势 ϕ 的通解可以表示为：
ϕ(R, θ) = ∑[n=0 to ∞] (an R^n + bn R^(-n-1)) Pn(cosθ)
其中 Pn(cosθ) 是勒让德多项式，an 和 bn 是待定系数。
步骤 2：确定无穷远处的边界条件
在无穷远处，电场 E0 方向的电势 ϕ 应该趋于 ϕ0 - E0 R cosθ。因此，我们有：
ϕ(R, θ) → ϕ0 - E0 R cosθ = ϕ0 - E0 R P1(cosθ) (当 R → ∞)
这表明 a0 = ϕ0，a1 = -E0，an = 0 (n ≥ 2)。
步骤 3：确定导体球表面的边界条件
在导体球表面 R = R0，电势 ϕ 应该等于 Φ0。因此，我们有：
ϕ(R0, θ) = Φ0
将通解代入，得到：
ϕ0 - E0 R0 P1(cosθ) + ∑[n=0 to ∞] (bn / R0^(n+1)) Pn(cosθ) = Φ0
通过比较系数，可以确定 b0 = R0 (Φ0 - ϕ0)，b1 = E0 R0^3，bn = 0 (n ≥ 2)。
步骤 4：计算带电导体球的电势
对于带总电荷 Q 的导体球，我们首先假设球体的电势为 Φ0。根据电荷守恒，球体的总电荷 Q 可以表示为：
Q = 4πε0 R0 (Φ0 - ϕ0)
因此，我们有：
Φ0 - ϕ0 = Q / (4πε0 R0)