六、(本题12分)设离散型随机变量的分布律为,其中为未知参数,为一组样本观察值,求的极大似然估计值.·

本题考察极大似然估计的求解步骤，适用于服从泊松分布的离散型随机变量，核心是通过构造似然函数、取对数转化、求导并解方程得到参数估计值。

步骤1：明确分布与样本

题目中随机变量$X$的分布律为$P(X=x)=\frac{\theta^x e^{-\theta}}{x!}$（$x=0,1,2,\dots$），这是泊松分布，未知参数为$\theta>0$。样本观察值为$x_1,x_2,\dots,x_n$。

步骤2：构造似然函数

似然函数$L(\theta)$是样本联合概率密度（离散型为联合分布律），对独立样本有：
$L(\theta)=\prod_{i=1}^n P(X=x_i)=\prod_{i=1}^n \frac{\theta^{x_i} e^{-\theta}}{x_i!}$
化简得：
$L(\theta)=\theta^{\sum_{i=1}^n x_i} e^{-n\theta} \cdot \prod_{i=1}^n \frac{1}{x_i!}$

步骤3：取对数得对数似然函数

为简化求导，对$L(\theta)$取自然对数：
$\ln L(\theta)=\ln\left(\theta^{\sum x_i} e^{-n\theta} \prod \frac{1}{x_i!}\right)=\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\ln\theta -n\theta - \ln\left(\prod_{i=1}^n x_i!\right)$
其中$\ln\left(\prod x_i!\right)$是与$\theta$无关的常数，求导时可忽略。

步骤4：求导并解似然方程

对$\ln L(\theta)$关于$\theta$求导，令导数为0：
$\frac{d\ln L(\theta)}{d\theta}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{\theta} -n=0$
解方程：
$\frac{\sum x_i}{\theta}=n \implies \theta=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i=\overline{x}$

结论

$\theta$的极大似然估计值为样本均值$\overline{x}$。