题目
在样本容量一定的条件下,可以同时控制置信区间的精度与置信度.-|||-A 对
题目解答
答案
当样本容量一定时，置信区间的宽度随着置信度的增大而增大，若置信度增大，则置信区间必然增大，将会降低估计的精确度。
若要提高精确度，则置信度必然减小。
可以看出，在样本容量一定的情况下，对置信度和精确度的要求往往是矛盾的，要同时满足两方面的要求，则必然要增加样本容量。
英国统计学家奈曼（Neyman）建议采取一个折中的办法：即在保证置信度的前提下，尽可能提高精确度。
若要提高精确度，则置信度必然减小。
可以看出，在样本容量一定的情况下，对置信度和精确度的要求往往是矛盾的，要同时满足两方面的要求，则必然要增加样本容量。
英国统计学家奈曼（Neyman）建议采取一个折中的办法：即在保证置信度的前提下，尽可能提高精确度。
解析
考查要点：本题主要考查置信区间中置信度与精度的关系，以及样本容量对两者的影响。
核心思路：
在样本容量固定时，置信度和精度存在此消彼长的关系。提高置信度会导致区间宽度增大（精度降低），而提高精度需要降低置信度或增加样本容量。因此，无法同时优化两者，需通过调整样本容量或采用折中方案平衡。
破题关键：
- 明确置信区间公式中的临界值（与置信度相关）和标准误差（与样本容量相关）的作用。
- 理解样本容量是连接置信度与精度的桥梁，增加样本容量可同时提升两者。
理论基础
置信区间公式为：
$\text{估计值} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
其中：
- $z_{\alpha/2}$ 是与置信度相关的临界值（如95%置信度对应$z=1.96$）。
- $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 是标准误差，$n$为样本容量。
样本容量固定时的矛盾
- 置信度与临界值：
- 置信度越高（如从95%升至99%），$z_{\alpha/2}$增大，导致区间宽度增加，精度降低。
- 精度与标准误差：
- 标准误差与$\sqrt{n}$成反比，样本容量$n$固定时，标准误差无法减小，因此无法通过调整公式其他部分提高精度。
解决方案
- 增加样本容量：可减小标准误差，从而在保持或提高置信度的同时提高精度。
- 折中方案（奈曼建议）：在保证一定置信度的前提下，尽可能提高精度（如选择95%置信度而非99%，以换取更窄的区间）。