题目
14. (6.0分) 设总体 X sim N(mu, sigma^2)， overline(X) 和 S^2 分别为来自总体X的样本容量为n的样本均值与样本方差，则 (overline(X)-mu)/(S/sqrt(n))sim t(n-1)。A. 对B. 错
14. (6.0分) 设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^{2})$， $\overline{X}$ 和 $S^{2}$ 分别为来自总体X的样本容量为n的样本均值与样本方差，则 $\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$。
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：理解正态总体的样本均值与样本方差的性质
对于正态总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本均值 $\overline{X}$ 与样本方差 $S^2$ 独立。样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N(\mu, \sigma^2/n)$，而样本方差 $S^2$ 的分布为 $\chi^2(n-1)$，其中 $\chi^2(n-1)$ 表示自由度为 $n-1$ 的卡方分布。
步骤 2：标准化样本均值
样本均值 $\overline{X}$ 的标准化形式为 $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$，它服从标准正态分布 $N(0, 1)$。
步骤 3：标准化样本方差
样本方差 $S^2$ 的标准化形式为 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$，它服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布 $\chi^2(n-1)$。
步骤 4：构造 t 分布
根据 t 分布的定义，标准正态变量与独立的卡方变量（除以自由度）的平方根比值服从 t 分布。因此，将标准化的样本均值与标准化的样本方差的平方根比值构造为： \[ \frac{\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2 / \sigma^2}{n-1}}} = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \] 这个比值服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布，即 $\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$。
对于正态总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本均值 $\overline{X}$ 与样本方差 $S^2$ 独立。样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N(\mu, \sigma^2/n)$，而样本方差 $S^2$ 的分布为 $\chi^2(n-1)$，其中 $\chi^2(n-1)$ 表示自由度为 $n-1$ 的卡方分布。
步骤 2：标准化样本均值
样本均值 $\overline{X}$ 的标准化形式为 $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$，它服从标准正态分布 $N(0, 1)$。
步骤 3：标准化样本方差
样本方差 $S^2$ 的标准化形式为 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$，它服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布 $\chi^2(n-1)$。
步骤 4：构造 t 分布
根据 t 分布的定义，标准正态变量与独立的卡方变量（除以自由度）的平方根比值服从 t 分布。因此，将标准化的样本均值与标准化的样本方差的平方根比值构造为： \[ \frac{\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2 / \sigma^2}{n-1}}} = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \] 这个比值服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布，即 $\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$。