题目
一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．（1）若N=5000，求X的数学期望；（2）已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得P（X=15）最大的N的值作为N的估计值）．
一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．
（1）若N=5000，求X的数学期望；
（2）已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得P（X=15）最大的N的值作为N的估计值）．
（1）若N=5000，求X的数学期望；
（2）已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得P（X=15）最大的N的值作为N的估计值）．
题目解答
答案
解：（1）依题意X服从超几何分布，且N=5000，M=200，n=500，
故$E（X）=N×\frac{M}{n}=500×\frac{200}{5000}=20$．
（2）当N＜685时，P（X=15）=0，
当N≥685时，$P（X=15）=\frac{C_{200}^{15}C_{N-200}^{485}}{C_N^{500}}$，
记$a（N）=\frac{C_{200}^{15}C_{N-200}^{485}}{C_N^{500}}$，
则$\frac{a（N+1）}{a（N）}=\frac{C_{N+1-200}^{485}C_N^{500}}{C_{N+1}^{500}C_{N-200}^{485}}$
=$\frac{（N+1-500）（N+1-200）}{（N+1）（N+1-200-485）}$
=$\frac{（N-499）（N-199）}{（N+1）（N-684）}$
=$\frac{N^2-698N+499×199}{N^2-683N-684}$，
由N2-698N+499×199＞N2-683N-684，
当且仅当$N＜\frac{499×199+684}{15}≈6665.7$，
则可知当685≤N≤6665时，a（N+1）＞a（N）；
当N≥6666时，a（N+1）＜a（N），
故N=6666时，a（N）最大，
所以N的估计值为6666．
故$E（X）=N×\frac{M}{n}=500×\frac{200}{5000}=20$．
（2）当N＜685时，P（X=15）=0，
当N≥685时，$P（X=15）=\frac{C_{200}^{15}C_{N-200}^{485}}{C_N^{500}}$，
记$a（N）=\frac{C_{200}^{15}C_{N-200}^{485}}{C_N^{500}}$，
则$\frac{a（N+1）}{a（N）}=\frac{C_{N+1-200}^{485}C_N^{500}}{C_{N+1}^{500}C_{N-200}^{485}}$
=$\frac{（N+1-500）（N+1-200）}{（N+1）（N+1-200-485）}$
=$\frac{（N-499）（N-199）}{（N+1）（N-684）}$
=$\frac{N^2-698N+499×199}{N^2-683N-684}$，
由N2-698N+499×199＞N2-683N-684，
当且仅当$N＜\frac{499×199+684}{15}≈6665.7$，
则可知当685≤N≤6665时，a（N+1）＞a（N）；
当N≥6666时，a（N+1）＜a（N），
故N=6666时，a（N）最大，
所以N的估计值为6666．
解析
步骤 1：计算X的数学期望
根据题意，X服从超几何分布，其中N=5000，M=200，n=500。超几何分布的数学期望公式为$E(X) = n \times \frac{M}{N}$。将给定的值代入公式中，计算X的数学期望。
步骤 2：确定N的估计值
已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，即X=15。为了估计N的值，我们需要找到使得P(X=15)最大的N的值。超几何分布的概率公式为$P(X=k) = \frac{C_M^k \times C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$。通过计算不同N值下的P(X=15)，找到使得P(X=15)最大的N值。
步骤 3：计算不同N值下的P(X=15)
为了找到使得P(X=15)最大的N值，我们需要计算不同N值下的P(X=15)。通过比较不同N值下的P(X=15)，找到使得P(X=15)最大的N值。
根据题意，X服从超几何分布，其中N=5000，M=200，n=500。超几何分布的数学期望公式为$E(X) = n \times \frac{M}{N}$。将给定的值代入公式中，计算X的数学期望。
步骤 2：确定N的估计值
已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，即X=15。为了估计N的值，我们需要找到使得P(X=15)最大的N的值。超几何分布的概率公式为$P(X=k) = \frac{C_M^k \times C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$。通过计算不同N值下的P(X=15)，找到使得P(X=15)最大的N值。
步骤 3：计算不同N值下的P(X=15)
为了找到使得P(X=15)最大的N值，我们需要计算不同N值下的P(X=15)。通过比较不同N值下的P(X=15)，找到使得P(X=15)最大的N值。