题目
三、从总体N(56,6.3^2)随机抽取一容量为36的样本，求样本均值overline(X)落在50.8到53.8之间的概率.
三、从总体$N(56,6.3^{2})$随机抽取一容量为36的样本，求样本均值$\overline{X}$落在50.8到53.8之间的概率.
题目解答
答案
样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(56, \frac{6.3^2}{36}\right)$，即 $N(56, 1.05^2)$。
标准化得 $Z = \frac{\overline{X} - 56}{1.05}$，
对于 $\overline{X} = 50.8$，$Z_1 \approx -4.9524$；
对于 $\overline{X} = 53.8$，$Z_2 \approx -2.0952$。
利用标准正态分布的对称性，
\[
P(-4.9524 < Z < -2.0952) \approx P(Z < -2.0952) \approx 1 - P(Z < 2.0952) \approx 1 - 0.9817 = 0.0183.
\]
**答案：** $\boxed{0.0183}$
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(56, \frac{6.3^2}{36}\right)$，即 $N(56, 1.05^2)$。这是因为样本均值的期望值等于总体均值，而样本均值的方差等于总体方差除以样本容量。
步骤 2：标准化样本均值
标准化得 $Z = \frac{\overline{X} - 56}{1.05}$，其中 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。这一步是为了将样本均值的分布转换为标准正态分布，以便利用标准正态分布表来计算概率。
步骤 3：计算标准化后的 $Z$ 值
对于 $\overline{X} = 50.8$，$Z_1 = \frac{50.8 - 56}{1.05} \approx -4.9524$； 对于 $\overline{X} = 53.8$，$Z_2 = \frac{53.8 - 56}{1.05} \approx -2.0952$。 这一步是将样本均值的边界值转换为标准正态分布的 $Z$ 值，以便利用标准正态分布表来计算概率。
步骤 4：利用标准正态分布表计算概率
利用标准正态分布的对称性， \[ P(-4.9524 < Z < -2.0952) \approx P(Z < -2.0952) \approx 1 - P(Z < 2.0952) \approx 1 - 0.9817 = 0.0183. \] 这一步是利用标准正态分布表来计算 $Z$ 值在 $-4.9524$ 和 $-2.0952$ 之间的概率，从而得到样本均值落在 $50.8$ 到 $53.8$ 之间的概率。
样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(56, \frac{6.3^2}{36}\right)$，即 $N(56, 1.05^2)$。这是因为样本均值的期望值等于总体均值，而样本均值的方差等于总体方差除以样本容量。
步骤 2：标准化样本均值
标准化得 $Z = \frac{\overline{X} - 56}{1.05}$，其中 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。这一步是为了将样本均值的分布转换为标准正态分布，以便利用标准正态分布表来计算概率。
步骤 3：计算标准化后的 $Z$ 值
对于 $\overline{X} = 50.8$，$Z_1 = \frac{50.8 - 56}{1.05} \approx -4.9524$； 对于 $\overline{X} = 53.8$，$Z_2 = \frac{53.8 - 56}{1.05} \approx -2.0952$。 这一步是将样本均值的边界值转换为标准正态分布的 $Z$ 值，以便利用标准正态分布表来计算概率。
步骤 4：利用标准正态分布表计算概率
利用标准正态分布的对称性， \[ P(-4.9524 < Z < -2.0952) \approx P(Z < -2.0952) \approx 1 - P(Z < 2.0952) \approx 1 - 0.9817 = 0.0183. \] 这一步是利用标准正态分布表来计算 $Z$ 值在 $-4.9524$ 和 $-2.0952$ 之间的概率，从而得到样本均值落在 $50.8$ 到 $53.8$ 之间的概率。