题目
19.填空题例7.3 某工厂生产的合金的强度服从正态分布，其中平均强度μ的设计值不低于110 Pa。为保证质量，该厂每天都要对生产情况做例行检查，以判断生产是否正常进行。某天从生产的产品中随机抽取25块合金，测量其强度值为x_(1)， ... ，x_(25)，计算得样本的均值和标准差分别为overline(x)=108.2，s=0.44，问当日生产是否正常？（取显著性水平α=0.025）填是或否第1空：
19.填空题
例7.3 某工厂生产的合金的强度服从正态分布，其中平均强度μ的设计值不低于110 Pa。为保证质量，该厂每天都要对生产情况做例行检查，以判断生产是否正常进行。某天从生产的产品中随机抽取25块合金，测量其强度值为$x_{1}$，$ \cdots $，$x_{25}$，计算得样本的均值和标准差分别为$\overline{x}$=108.2，s=0.44，问当日生产是否正常？（取显著性水平α=0.025）
填是或否
第1空：
题目解答
答案
为了判断当日生产是否正常，我们需要进行假设检验。具体步骤如下：
1. **建立假设：**
- 零假设 $ H_0 $：$\mu \geq 110$ Pa（生产正常）
- 备择假设 $ H_1 $：$\mu < 110$ Pa（生产不正常）
2. **确定显著性水平：**
- $\alpha = 0.025$
3. **选择检验统计量：**
- 由于总体标准差未知，且样本量较小（n=25），我们使用t检验统计量：
\[
t = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}
\]
其中 $\overline{x} = 108.2$，$\mu_0 = 110$，$s = 0.44$，$n = 25$。
4. **计算检验统计量的值：**
\[
t = \frac{108.2 - 110}{0.44 / \sqrt{25}} = \frac{-1.8}{0.44 / 5} = \frac{-1.8}{0.088} \approx -20.4545
\]
5. **确定临界值：**
- 对于单侧t检验（左尾），自由度 $ df = n - 1 = 24 $，显著性水平 $\alpha = 0.025$，查t分布表得临界值 $ t_{0.025, 24} \approx -2.064 $。
6. **比较检验统计量与临界值：**
- 检验统计量 $ t \approx -20.4545 $
- 临界值 $ t_{0.025, 24} \approx -2.064 $
由于 $ t \approx -20.4545 < -2.064 $，我们拒绝零假设 $ H_0 $。
7. **结论：**
- 拒绝零假设 $ H_0 $ 意味着当日生产不正常。
因此，当日生产不正常。答案是 $\boxed{\text{否}}$。
解析
步骤 1：建立假设
- 零假设 $ H_0 $：$\mu \geq 110$ Pa（生产正常）
- 备择假设 $ H_1 $：$\mu < 110$ Pa（生产不正常）
步骤 2：确定显著性水平
- $\alpha = 0.025$
步骤 3：选择检验统计量
- 由于总体标准差未知，且样本量较小（n=25），我们使用t检验统计量：
\[ t = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \]
其中 $\overline{x} = 108.2$，$\mu_0 = 110$，$s = 0.44$，$n = 25$。
步骤 4：计算检验统计量的值
\[ t = \frac{108.2 - 110}{0.44 / \sqrt{25}} = \frac{-1.8}{0.44 / 5} = \frac{-1.8}{0.088} \approx -20.4545 \]
步骤 5：确定临界值
- 对于单侧t检验（左尾），自由度 $ df = n - 1 = 24 $，显著性水平 $\alpha = 0.025$，查t分布表得临界值 $ t_{0.025, 24} \approx -2.064 $。
步骤 6：比较检验统计量与临界值
- 检验统计量 $ t \approx -20.4545 $
- 临界值 $ t_{0.025, 24} \approx -2.064 $
由于 $ t \approx -20.4545 < -2.064 $，我们拒绝零假设 $ H_0 $。
步骤 7：结论
- 拒绝零假设 $ H_0 $ 意味着当日生产不正常。
- 零假设 $ H_0 $：$\mu \geq 110$ Pa（生产正常）
- 备择假设 $ H_1 $：$\mu < 110$ Pa（生产不正常）
步骤 2：确定显著性水平
- $\alpha = 0.025$
步骤 3：选择检验统计量
- 由于总体标准差未知，且样本量较小（n=25），我们使用t检验统计量：
\[ t = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \]
其中 $\overline{x} = 108.2$，$\mu_0 = 110$，$s = 0.44$，$n = 25$。
步骤 4：计算检验统计量的值
\[ t = \frac{108.2 - 110}{0.44 / \sqrt{25}} = \frac{-1.8}{0.44 / 5} = \frac{-1.8}{0.088} \approx -20.4545 \]
步骤 5：确定临界值
- 对于单侧t检验（左尾），自由度 $ df = n - 1 = 24 $，显著性水平 $\alpha = 0.025$，查t分布表得临界值 $ t_{0.025, 24} \approx -2.064 $。
步骤 6：比较检验统计量与临界值
- 检验统计量 $ t \approx -20.4545 $
- 临界值 $ t_{0.025, 24} \approx -2.064 $
由于 $ t \approx -20.4545 < -2.064 $，我们拒绝零假设 $ H_0 $。
步骤 7：结论
- 拒绝零假设 $ H_0 $ 意味着当日生产不正常。