题目
X1,X2,···,Xn是来自正态总体 sim N(0,1) 的样本,X,S^2分别为样本均值与样-|||-本方差,则下列各式正确的是 () .-|||-(A) overline (X)sim N(0,1) ; (B) overline (X)sim N(0,1) ;-|||-(C) sum _(i=1)^n({X)_(i)}^2sim (chi )^2(n) : (D) overline (X)/Ssim t(n-1) .
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解样本均值与样本方差的性质
样本均值 $\overline{X}$ 是正态分布 $N(0,1)$ 的样本的平均值，样本方差 $S^2$ 是样本方差。对于正态分布 $N(0,1)$ 的样本，样本均值 $\overline{X}$ 服从正态分布 $N(0,1/n)$，样本方差 $S^2$ 服从 $\chi^2$ 分布。
步骤 2：分析选项 (A) 和 (B)
选项 (A) $\overline{X}\sim N(0,1)$ 是不正确的，因为样本均值 $\overline{X}$ 服从 $N(0,1/n)$，而不是 $N(0,1)$。选项 (B) $n\overline{X}\sim N(0,1)$ 也是不正确的，因为 $n\overline{X}$ 服从 $N(0,n)$，而不是 $N(0,1)$。
步骤 3：分析选项 (C)
选项 (C) $\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}\sim {\chi }^{2}(n)$ 是正确的，因为对于正态分布 $N(0,1)$ 的样本，$\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}$ 服从 $\chi^2$ 分布，自由度为 $n$。
步骤 4：分析选项 (D)
选项 (D) $\overline {X}/S\sim t(n-1)$ 是不正确的，因为 $\overline {X}/S$ 服从 $t$ 分布，自由度为 $n-1$，而不是 $\overline {X}/S\sim t(n-1)$。
样本均值 $\overline{X}$ 是正态分布 $N(0,1)$ 的样本的平均值，样本方差 $S^2$ 是样本方差。对于正态分布 $N(0,1)$ 的样本，样本均值 $\overline{X}$ 服从正态分布 $N(0,1/n)$，样本方差 $S^2$ 服从 $\chi^2$ 分布。
步骤 2：分析选项 (A) 和 (B)
选项 (A) $\overline{X}\sim N(0,1)$ 是不正确的，因为样本均值 $\overline{X}$ 服从 $N(0,1/n)$，而不是 $N(0,1)$。选项 (B) $n\overline{X}\sim N(0,1)$ 也是不正确的，因为 $n\overline{X}$ 服从 $N(0,n)$，而不是 $N(0,1)$。
步骤 3：分析选项 (C)
选项 (C) $\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}\sim {\chi }^{2}(n)$ 是正确的，因为对于正态分布 $N(0,1)$ 的样本，$\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}$ 服从 $\chi^2$ 分布，自由度为 $n$。
步骤 4：分析选项 (D)
选项 (D) $\overline {X}/S\sim t(n-1)$ 是不正确的，因为 $\overline {X}/S$ 服从 $t$ 分布，自由度为 $n-1$，而不是 $\overline {X}/S\sim t(n-1)$。