27 中等题 下列4个命题中正确的是（）.①若lim_(ntoinfty)x_(n)=a，则lim_(ntoinfty)|x_(n)|=|a|.②若lim_(ntoinfty)|x_(n)|=a，则lim_(ntoinfty)x_(n)=a.③若lim_(ntoinfty)x_(n)=a，则lim_(ntoinfty)x_(3n+1)=a.④若lim_(ntoinfty)x_(n)=a，则lim_(ntoinfty)(1)/(x_(n))=(1)/(a).(A)①② (B)①③ (C)①③④ (D)③④
题目解答
答案
分析各命题：
① 正确。由极限性质，若 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$，则 $\lim_{n \to \infty} |x_n| = |a|$，因绝对值函数连续。
② 错误。反例：$x_n = (-1)^n a$，满足 $\lim_{n \to \infty} |x_n| = a$，但 $\lim_{n \to \infty} x_n$ 不存在（除非 $a=0$）。
③ 正确。若 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$，则子数列 $x_{3n+1}$ 也收敛于 $a$。
④ 错误。仅当 $a \neq 0$ 时成立，否则 $\frac{1}{x_n}$ 趋于无穷大。
综上，正确命题为①和③。
答案：B（①③）
解析
考查要点：本题主要考查数列极限的性质，包括绝对值的极限、子数列的极限以及倒数的极限等知识点。
解题核心思路：
- 绝对值的极限：若原数列收敛，则其绝对值数列也收敛，且极限为原极限的绝对值。
- 子数列的极限：若原数列收敛，则任意子数列的极限与原数列相同。
- 倒数的极限：原数列的倒数极限成立需满足原极限不为零。
破题关键点：
- ①正确：利用绝对值函数的连续性。
- ②错误：构造反例（如交替符号的数列）说明原数列可能发散。
- ③正确：子数列的收敛性与原数列一致。
- ④错误：未排除原极限为零的情况，导致倒数无意义。
① 若$\lim_{n\to\infty}x_{n}=a$，则$\lim_{n\to\infty}|x_{n}|=|a|$
正确性分析：
根据极限的运算性质，若$\lim_{n\to\infty}x_{n}=a$，则$\lim_{n\to\infty}|x_{n}|=|a|$。绝对值函数是连续函数，因此极限符号可以与绝对值符号交换顺序。
② 若$\lim_{n\to\infty}|x_{n}|=a$，则$\lim_{n\to\infty}x_{n}=a$
正确性分析：
不成立。例如，取$x_{n}=(-1)^{n}a$，此时$\lim_{n\to\infty}|x_{n}|=a$，但$\lim_{n\to\infty}x_{n}$不存在（除非$a=0$）。因此，绝对值的极限存在不能保证原数列的极限存在。
③ 若$\lim_{n\to\infty}x_{n}=a$，则$\lim_{n\to\infty}x_{3n+1}=a$
正确性分析：
成立。根据数列极限的性质，若原数列收敛，则其任意子数列（如$x_{3n+1}$）也收敛于同一极限$a$。
④ 若$\lim_{n\to\infty}x_{n}=a$，则$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{x_{n}}=\frac{1}{a}$
正确性分析：
不成立。当$a \neq 0$时，$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{x_{n}}=\frac{1}{a}$成立；但若$a=0$，则$\frac{1}{x_{n}}$无意义或趋于无穷大，此时极限不存在。题目未限定$a \neq 0$，因此命题不成立。