一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束中包含有两种波长的光：λ 1 =440nm和λ 2 =660nm．实验发现，两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角ψ=60°的方向上，求此光栅的光栅常数．

考查要点：本题主要考查光栅衍射方程的应用，以及如何确定不同波长光谱线重合时的级数关系。

解题核心思路：

1. 光栅方程：$d \sin \psi = k \lambda$，其中$d$为光栅常数，$\psi$为衍射角，$k$为明纹级数，$\lambda$为波长。
2. 重合条件：两种波长的光谱线重合时，需满足$k_1 \lambda_1 = k_2 \lambda_2$，即它们的级数比$k_1/k_2 = \lambda_2/\lambda_1$。
3. 第二次重合：第一次重合对应最小整数解，第二次重合则为该解的两倍。

破题关键点：

• 通过波长比确定级数比，找到第二次重合对应的级数$k$和$k'$，代入光栅方程求解$d$。

步骤1：确定级数比

根据重合条件$k_1 \lambda_1 = k_2 \lambda_2$，得：
$\frac{k_1}{k_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{660}{440} = \frac{3}{2}.$
因此，$k_1$和$k_2$必须是3和2的整数倍。

步骤2：确定第二次重合的级数

• 第一次重合：取最小整数解$k_1=3$，$k_2=2$。
• 第二次重合：取两倍的整数解，即$k_1=6$，$k_2=4$。

步骤3：代入光栅方程求解$d$

将$k_1=6$，$\lambda_1=440\ \text{nm}$，$\psi=60^\circ$代入光栅方程：
$d \sin 60^\circ = 6 \lambda_1.$
解得：
$d = \frac{6 \cdot 440 \cdot 10^{-9}}{\sin 60^\circ} = \frac{6 \cdot 440 \cdot 10^{-9}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6 \cdot 440 \cdot 2}{\sqrt{3}} \cdot 10^{-9} \approx 3.05 \times 10^{-6}\ \text{m}.$