题目

20.(本题12分)求函数f(x,y)=xy-(4)/(3)x-y在由抛物线y=4-x^2(xgeq0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值.

20.(本题12分)求函数$f(x,y)=xy-\frac{4}{3}x-y$在由抛物线$y=4-x^{2}(x\geq0)$与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值.

题目解答

答案

1. **求内部驻点**： $ f_x = y - \frac{4}{3} = 0 $，$ f_y = x - 1 = 0 $，解得 $ (1, \frac{4}{3}) $，值为 $ f(1, \frac{4}{3}) = -\frac{4}{3} $。 2. **边界分析**： - **$ x = 0 $**：$ f(0, y) = -y $，最大值 $ 0 $（$ y = 0 $），最小值 $ -4 $（$ y = 4 $）。 - **$ y = 0 $**：$ f(x, 0) = -\frac{4}{3}x $，最大值 $ 0 $（$ x = 0 $），最小值 $ -\frac{8}{3} $（$ x = 2 $）。 - **$ y = 4 - x^2 $**：$ f(x, 4 - x^2) = -x^3 + x^2 + \frac{8}{3}x - 4 $，最大值 $ -\frac{28}{27} $（$ x = \frac{4}{3} $），最小值 $ -4 $（$ x = 0 $）。 3. **比较**： 最大值 $ 0 $，最小值 $ -4 $。 **答案**： 最大值 $ \boxed{0} $，最小值 $ \boxed{-4} $。

解析

考查要点：本题主要考查多元函数在闭区域上的极值求解方法，包括内部驻点和边界极值的分析。

解题思路：

  1. 内部驻点：通过求偏导数找到可能的极值点，验证是否在区域内。
  2. 边界分析：将边界分为三部分（坐标轴和抛物线），分别转化为一元函数求极值。
  3. 比较所有候选点：综合内部驻点和各边界上的极值，确定最终结果。

关键点：

  • 驻点条件：偏导数为零的点。
  • 边界转化：将函数限制在边界上，转化为单变量函数求极值。
  • 端点检查：边界端点处的函数值可能成为极值。

1. 求内部驻点

计算偏导数：
$f_x = y - \frac{4}{3}, \quad f_y = x - 1$
联立方程 $f_x = 0$ 和 $f_y = 0$，解得驻点 $(1, \frac{4}{3})$，对应函数值：
$f(1, \frac{4}{3}) = -\frac{4}{3}$

2. 边界分析

(1) $x = 0$（y轴边界）

函数化简为 $f(0, y) = -y$，在 $y \in [0, 4]$ 上：

  • 最大值：$f(0, 0) = 0$
  • 最小值：$f(0, 4) = -4$

(2) $y = 0$（x轴边界）

函数化简为 $f(x, 0) = -\frac{4}{3}x$，在 $x \in [0, 2]$ 上：

  • 最大值：$f(0, 0) = 0$
  • 最小值：$f(2, 0) = -\frac{8}{3}$

(3) $y = 4 - x^2$（抛物线边界）

代入函数得：
$f(x, 4 - x^2) = -x^3 + x^2 + \frac{8}{3}x - 4$
求导并解方程 $f'(x) = -3x^2 + 2x + \frac{8}{3} = 0$，得临界点 $x = \frac{4}{3}$。计算得：

  • 临界点值：$f\left(\frac{4}{3}, \frac{20}{9}\right) = -\frac{28}{27}$
  • 端点值：$f(0, 4) = -4$，$f(2, 0) = -\frac{8}{3}$

3. 比较所有候选值

  • 最大值：$0$（在 $(0, 0)$ 处）
  • 最小值：$-4$（在 $(0, 4)$ 处）