题目
设 X_((alpha)) = (X_(alpha1), X_(alpha2), ..., X_(alpha p))'，alpha = 1, 2, ... n 是从P维正态总体 N_p (mu, Sigma) 中抽取的 n 个随机样本，样本均值为 overline(X)，样本离差阵为 L = sum_(i=1)^n (X_((i)) - overline(X))(X_((i)) - overline(X))'，则样本离差阵L服从的分布为（）A. L sim W_p (n+1, Sigma)B. L sim W_p (n-1, Sigma)C. L sim W_p (n, Sigma)D. L sim W_n (n-1, Sigma)
设 $X_{(\alpha)} = (X_{\alpha1}, X_{\alpha2}, \cdots, X_{\alpha p})'$，$\alpha = 1, 2, \cdots n$ 是从P维正态总体 $N_p (\mu, \Sigma)$ 中抽取的 $n$ 个随机样本，样本均值为 $\overline{X}$，样本离差阵为 $L = \sum_{i=1}^{n} (X_{(i)} - \overline{X})(X_{(i)} - \overline{X})'$，则样本离差阵L服从的分布为（）
A. $L \sim W_p (n+1, \Sigma)$
B. $L \sim W_p (n-1, \Sigma)$
C. $L \sim W_p (n, \Sigma)$
D. $L \sim W_n (n-1, \Sigma)$
题目解答
答案
B. $L \sim W_p (n-1, \Sigma)$
解析
步骤 1：定义样本离差阵
样本离差阵 $L$ 定义为 $L = \sum_{i=1}^{n} (X_{(i)} - \overline{X})(X_{(i)} - \overline{X})'$，其中 $X_{(i)}$ 是从 $N_p(\mu, \Sigma)$ 中抽取的随机样本，$\overline{X}$ 是样本均值。
步骤 2：理解 Wishart 分布
Wishart 分布 $W_p(n-1, \Sigma)$ 的定义是，如果一个 $p \times p$ 的随机矩阵 $W$ 可以表示为 $W = \sum_{i=1}^{n-1} Z_i Z_i'$，其中 $Z_i$ 是来自 $N_p(0, \Sigma)$ 的独立随机向量，那么 $W \sim W_p(n-1, \Sigma)$。
步骤 3：证明样本离差阵的分布
由于 $X_{(i)}$ 是从 $N_p(\mu, \Sigma)$ 中抽取的随机样本，$X_{(i)} - \overline{X}$ 是 $p$-维向量，可以证明 $X_{(i)} - \overline{X}$ 服从 $N_p(0, \Sigma)$。由于 $\overline{X}$ 是 $X_{(i)}$ 的线性组合，$X_{(i)} - \overline{X}$ 之间是线性相关的，但可以证明 $L$ 的分布等价于 $n-1$ 个独立的 $N_p(0, \Sigma)$ 随机向量的外积和的分布。因此，$L \sim W_p(n-1, \Sigma)$。
样本离差阵 $L$ 定义为 $L = \sum_{i=1}^{n} (X_{(i)} - \overline{X})(X_{(i)} - \overline{X})'$，其中 $X_{(i)}$ 是从 $N_p(\mu, \Sigma)$ 中抽取的随机样本，$\overline{X}$ 是样本均值。
步骤 2：理解 Wishart 分布
Wishart 分布 $W_p(n-1, \Sigma)$ 的定义是，如果一个 $p \times p$ 的随机矩阵 $W$ 可以表示为 $W = \sum_{i=1}^{n-1} Z_i Z_i'$，其中 $Z_i$ 是来自 $N_p(0, \Sigma)$ 的独立随机向量，那么 $W \sim W_p(n-1, \Sigma)$。
步骤 3：证明样本离差阵的分布
由于 $X_{(i)}$ 是从 $N_p(\mu, \Sigma)$ 中抽取的随机样本，$X_{(i)} - \overline{X}$ 是 $p$-维向量，可以证明 $X_{(i)} - \overline{X}$ 服从 $N_p(0, \Sigma)$。由于 $\overline{X}$ 是 $X_{(i)}$ 的线性组合，$X_{(i)} - \overline{X}$ 之间是线性相关的，但可以证明 $L$ 的分布等价于 $n-1$ 个独立的 $N_p(0, \Sigma)$ 随机向量的外积和的分布。因此，$L \sim W_p(n-1, \Sigma)$。