比较条件：设lim alpha = 0，lim beta = 0。结论：若lim (alpha)/(beta) = 0，则就说alpha是比beta高阶的无穷小；若lim (alpha)/(beta) = infty，则就说alpha是比beta低阶的无穷小；若lim (alpha)/(beta) = c（c neq 0，c neq 1），则就说beta与alpha是同阶但非等价无穷小；若lim (alpha)/(beta) = 1，则就说alpha与beta是等价无穷小，记作alpha sim beta。【例 1】当x arrow 0时，x^2 sin (1)/(x)是x的（ ）无穷小。A. 高阶B. 低阶C. 同阶但非等价D. 等价【例 2】当x arrow 0时，f(x)与g(x)是一对等价无穷小，则当x arrow 0时，2f(x) - g(x)是g(x)的（ ）无穷小。A. 高阶B. 低阶C. 同阶非等价D. 等价【总结】当x arrow 0时，常见的等价无穷小如下：① } sin x sim x, arcsin x sim x; 等价代换的使用条件为所换部分必须满足因子关系。
比较
条件：设$\lim \alpha = 0$，$\lim \beta = 0$。
结论：若$\lim \frac{\alpha}{\beta} = 0$，则就说$\alpha$是比$\beta$高阶的无穷小；
若$\lim \frac{\alpha}{\beta} = \infty$，则就说$\alpha$是比$\beta$低阶的无穷小；
若$\lim \frac{\alpha}{\beta} = c$（$c \neq 0$，$c \neq 1$），则就说$\beta$与$\alpha$是同阶但非等价无穷小；
若$\lim \frac{\alpha}{\beta} = 1$，则就说$\alpha$与$\beta$是等价无穷小，记作$\alpha \sim \beta$。
【例 1】当$x \rightarrow 0$时，$x^2 \sin \frac{1}{x}$是$x$的（ ）无穷小。
A. 高阶
B. 低阶
C. 同阶但非等价
D. 等价
【例 2】当$x \rightarrow 0$时，$f(x)$与$g(x)$是一对等价无穷小，则当$x \rightarrow 0$时，$2f(x) - g(x)$是$g(x)$的（ ）无穷小。
A. 高阶
B. 低阶
C. 同阶非等价
D. 等价
【总结】当$x \rightarrow 0$时，常见的等价无穷小如下：
① $\begin{cases} \sin x \sim x, \\ \arcsin x \sim x; \end{cases}$
② $\begin{cases} \tan x \sim x, \\ \arctan x \sim x; \end{cases}$
③ $\begin{cases} e^x - 1 \sim x, \\ \ln(1+x) \sim x; \end{cases}$
④ $\begin{cases} 1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^2, \\ (1+x)^a - 1 \sim \alpha x (\alpha \neq 0); \end{cases}$
⑤ $\begin{cases} \tan x - x \sim \frac{1}{3} x^3, \\ x - \sin x \sim \frac{1}{6} x^3, \\ \tan x - \sin x \sim \frac{1}{2} x^3. \end{cases}$
等价代换的使用条件为所换部分必须满足因子关系。
题目解答
答案
例1：
当 $x \to 0$ 时，计算 $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$，
故 $x^2 \sin \frac{1}{x}$ 是比 $x$ 高阶的无穷小，答案为 A。
例2：
由 $f(x) \sim g(x)$，得 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$，
则 $\lim_{x \to 0} \frac{2f(x) - g(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \left(2 \frac{f(x)}{g(x)} - 1\right) = 1$，
故 $2f(x) - g(x)$ 与 $g(x)$ 等价，答案为 D。
常见等价无穷小：
$\boxed{\begin{array}{ccccc}\sin x &\sim& x, & \arcsin x &\sim& x, \\\tan x &\sim& x, & \arctan x &\sim& x, \\e^x - 1 &\sim& x, & \ln(1 + x) &\sim& x, \\1 - \cos x &\sim& \frac{1}{2} x^2, & (1 + x)^\alpha - 1 &\sim& \alpha x \quad (\alpha \neq 0).\end{array}}$
答案：
例1：$\boxed{A}$
例2：$\boxed{D}$
解析
本题主要考查无穷小的比较以及等价无穷小的性质和常见等价无穷小的知识。解题的关键在于根据无穷小比较的定义，通过计算极限来判断两个无穷小之间的关系。
例1
本题考查高阶无穷小的判断。根据高阶无穷小的定义，若$\lim \frac{\alpha}{\beta} = 0$，则$\alpha$是比$\beta$高阶的无穷小。
- 首先，我们要判断当$x \rightarrow 0$时，$x^2 \sin \frac{1}{x}$与$x$的关系，需要计算$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x}$。
- 对$\frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x}$进行化简，根据分式运算法则$\frac{a^m}{a^n}=a^{m - n}$，可得$\frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x}=x\sin\frac{1}{x}$，所以$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x}=\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$。
- 因为$\vert\sin\frac{1}{x}\vert\leqslant1$，即$\sin\frac{1}{x}$是有界函数，而$\lim_{x \to 0} x = 0$，根据有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，可得$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$。
- 由于$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x} = 0$，根据高阶无穷小的定义，可知$x^2 \sin \frac{1}{x}$是比$x$高阶的无穷小。
例2
本题考查等价无穷小的性质。根据等价无穷小的定义，若$\lim \frac{\alpha}{\beta} = 1$，则$\alpha$与$\beta$是等价无穷小。
- 已知当$x \rightarrow 0$时，$f(x)$与$g(x)$是一对等价无穷小，根据等价无穷小的定义可得$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$。
- 接下来判断$2f(x) - g(x)$与$g(x)$的关系，需要计算$\lim_{x \to 0} \frac{2f(x) - g(x)}{g(x)}$。
- 对$\frac{2f(x) - g(x)}{g(x)}$进行化简，根据分式运算法则$\frac{a - b}{c}=\frac{a}{c}-\frac{b}{c}$，可得$\frac{2f(x) - g(x)}{g(x)} = 2\frac{f(x)}{g(x)} - 1$，所以$\lim_{x \to 0} \frac{2f(x) - g(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \left(2 \frac{f(x)}{g(x)} - 1\right)$。
- 根据极限的四则运算法则$\lim_{x \to a}(u(x)\pm v(x))=\lim_{x \to a}u(x)\pm\lim_{x \to a}v(x)$，可得$\lim_{x \to 0} \left(2 \frac{f(x)}{g(x)} - 1\right)=2\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} - \lim_{x \to 0} 1$。
- 因为$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$，$\lim_{x \to 0} 1 = 1$，所以$2\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} - \lim_{x \to 0} 1 = 2\times1 - 1 = 1$。
- 由于$\lim_{x \to 0} \frac{2f(x) - g(x)}{g(x)} = 1$，根据等价无穷小的定义，可知$2f(x) - g(x)$与$g(x)$等价。