题目
设ξ1,ξ2为线性方程组 =b 的两个不同的解向量,下列向量不再为-|||-=b 的解向量的是 () .-|||-A. _(1)+(xi )_(2) B. _(1)-(S)_(2) C. _(1)(xi )_(1)+(k)_(2)(xi )_(2) _(1)(k)_(2)in R. D. dfrac (1)(2)((xi )_(1)+(xi )_(2)).A.B.C.D.
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
A. ${S}_{1}+{\xi }_{2}$
解析
步骤 1：理解线性方程组的解的性质
线性方程组 $AX=b$ 的解集是一个仿射空间，即如果 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 是方程组的解，则 $\xi_1 - \xi_2$ 是对应齐次方程组 $AX=0$ 的解。因此，如果 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 是 $AX=b$ 的解，则 $\xi_1 + \xi_2$ 不一定是 $AX=b$ 的解，因为 $A(\xi_1 + \xi_2) = A\xi_1 + A\xi_2 = b + b = 2b$，而 $2b$ 通常不等于 $b$。
步骤 2：分析选项
A. ${\xi}_1 + {\xi}_2$：如上所述，$A({\xi}_1 + {\xi}_2) = 2b$，所以 ${\xi}_1 + {\xi}_2$ 不是 $AX=b$ 的解。
B. ${\xi}_1 - {\xi}_2$：$A({\xi}_1 - {\xi}_2) = A{\xi}_1 - A{\xi}_2 = b - b = 0$，所以 ${\xi}_1 - {\xi}_2$ 是对应齐次方程组 $AX=0$ 的解，但不是 $AX=b$ 的解。
C. ${k}_1{\xi}_1 + {k}_2{\xi}_2$：如果 ${k}_1 + {k}_2 = 1$，则 ${k}_1{\xi}_1 + {k}_2{\xi}_2$ 是 $AX=b$ 的解，否则不是。
D. $\dfrac{1}{2}({\xi}_1 + {\xi}_2)$：$A(\dfrac{1}{2}({\xi}_1 + {\xi}_2)) = \dfrac{1}{2}(A{\xi}_1 + A{\xi}_2) = \dfrac{1}{2}(b + b) = b$，所以 $\dfrac{1}{2}({\xi}_1 + {\xi}_2)$ 是 $AX=b$ 的解。
步骤 3：确定不再为 $AX=b$ 的解向量
根据上述分析，选项 A、B、C 中的向量不再为 $AX=b$ 的解向量，而选项 D 中的向量是 $AX=b$ 的解向量。
线性方程组 $AX=b$ 的解集是一个仿射空间，即如果 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 是方程组的解，则 $\xi_1 - \xi_2$ 是对应齐次方程组 $AX=0$ 的解。因此，如果 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 是 $AX=b$ 的解，则 $\xi_1 + \xi_2$ 不一定是 $AX=b$ 的解，因为 $A(\xi_1 + \xi_2) = A\xi_1 + A\xi_2 = b + b = 2b$，而 $2b$ 通常不等于 $b$。
步骤 2：分析选项
A. ${\xi}_1 + {\xi}_2$：如上所述，$A({\xi}_1 + {\xi}_2) = 2b$，所以 ${\xi}_1 + {\xi}_2$ 不是 $AX=b$ 的解。
B. ${\xi}_1 - {\xi}_2$：$A({\xi}_1 - {\xi}_2) = A{\xi}_1 - A{\xi}_2 = b - b = 0$，所以 ${\xi}_1 - {\xi}_2$ 是对应齐次方程组 $AX=0$ 的解，但不是 $AX=b$ 的解。
C. ${k}_1{\xi}_1 + {k}_2{\xi}_2$：如果 ${k}_1 + {k}_2 = 1$，则 ${k}_1{\xi}_1 + {k}_2{\xi}_2$ 是 $AX=b$ 的解，否则不是。
D. $\dfrac{1}{2}({\xi}_1 + {\xi}_2)$：$A(\dfrac{1}{2}({\xi}_1 + {\xi}_2)) = \dfrac{1}{2}(A{\xi}_1 + A{\xi}_2) = \dfrac{1}{2}(b + b) = b$，所以 $\dfrac{1}{2}({\xi}_1 + {\xi}_2)$ 是 $AX=b$ 的解。
步骤 3：确定不再为 $AX=b$ 的解向量
根据上述分析，选项 A、B、C 中的向量不再为 $AX=b$ 的解向量，而选项 D 中的向量是 $AX=b$ 的解向量。