题目
函数f（x）={x+2，（-2≤x＜0）)2cosx，（0≤x≤(π)/(2)）).的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（ ） A. (5)/(2) B. 2 C. 3 D. 4
函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+2，（-2≤x＜0）}\\{2cosx，（0≤x≤\frac{π}{2}）}\end{array}\right.$的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（ ）
- A. $\frac{5}{2}$
- B. 2
- C. 3
- D. 4
题目解答
答案
解：由题意，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+2，（-2≤x＜0）}\\{2cosx，（0≤x≤\frac{π}{2}）}\end{array}\right.$的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为三角形面积加上一曲边梯形面积$\frac{1}{2}×2×2$+${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}2cosxdx$=2+2sinx${|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=2+2=4
故选：D．
解析
步骤 1：确定函数f(x)的定义域和分段函数的表达式
函数f(x)定义在区间[-2, $\frac{π}{2}$]上，分为两段：当-2≤x＜0时，f(x)=x+2；当0≤x≤$\frac{π}{2}$时，f(x)=2cosx。
步骤 2：计算分段函数在各自区间上的积分
对于-2≤x＜0，f(x)=x+2，积分面积为三角形面积，底为2，高为2，面积为$\frac{1}{2}×2×2=2$。
对于0≤x≤$\frac{π}{2}$，f(x)=2cosx，积分面积为${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}2cosxdx$。
步骤 3：计算积分${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}2cosxdx$
${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}2cosxdx=2sinx{|}_{0}^{\frac{π}{2}}=2sin\frac{π}{2}-2sin0=2-0=2$。
步骤 4：计算总面积
总面积为三角形面积加上曲边梯形面积，即2+2=4。
函数f(x)定义在区间[-2, $\frac{π}{2}$]上，分为两段：当-2≤x＜0时，f(x)=x+2；当0≤x≤$\frac{π}{2}$时，f(x)=2cosx。
步骤 2：计算分段函数在各自区间上的积分
对于-2≤x＜0，f(x)=x+2，积分面积为三角形面积，底为2，高为2，面积为$\frac{1}{2}×2×2=2$。
对于0≤x≤$\frac{π}{2}$，f(x)=2cosx，积分面积为${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}2cosxdx$。
步骤 3：计算积分${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}2cosxdx$
${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}2cosxdx=2sinx{|}_{0}^{\frac{π}{2}}=2sin\frac{π}{2}-2sin0=2-0=2$。
步骤 4：计算总面积
总面积为三角形面积加上曲边梯形面积，即2+2=4。