题目

[(-1)^n+1] (n+1)/(n) 是收敛数列.A 对B 错

$\left\{\left[(-1)^{n}+1\right] \frac{n+1}{n}\right\}$ 是收敛数列. A 对 B 错

题目解答

答案

我们来分析题目中的数列：

数列为：
$\left\{ \left[ (-1)^n + 1 \right] \cdot \frac{n+1}{n} \right\}$

我们要判断这个数列是否收敛。

第一步：理解数列的结构

这个数列由两部分组成：

  1. $ (-1)^n + 1 $
  2. $ \frac{n+1}{n} $

我们先分析 $ (-1)^n + 1 $ 的取值：

  • 当 $ n $ 为偶数时，$ (-1)^n = 1 $，所以 $ (-1)^n + 1 = 1 + 1 = 2 $
  • 当 $ n $ 为奇数时，$ (-1)^n = -1 $，所以 $ (-1)^n + 1 = -1 + 1 = 0 $

所以这个表达式在奇数项为 0，偶数项为 2。

再看 $ \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n} $，这个随着 $ n \to \infty $，趋近于 1。

第二步：写出数列的前几项，观察规律

我们计算前几项：

  • $ n = 1 $（奇数）：$ [(-1)^1 + 1] \cdot \frac{2}{1} = [ -1 + 1 ] \cdot 2 = 0 \cdot 2 = 0 $
  • $ n = 2 $（偶数）：$ [1 + 1] \cdot \frac{3}{2} = 2 \cdot 1.5 = 3 $
  • $ n = 3 $（奇数）：$ [-1 + 1] \cdot \frac{4}{3} = 0 \cdot \frac{4}{3} = 0 $
  • $ n = 4 $（偶数）：$ 2 \cdot \frac{5}{4} = 2 \cdot 1.25 = 2.5 $
  • $ n = 5 $：0
  • $ n = 6 $：$ 2 \cdot \frac{7}{6} \approx 2.333 $
  • $ n = 8 $：$ 2 \cdot \frac{9}{8} = 2.25 $
  • $ n = 10 $：$ 2 \cdot \frac{11}{10} = 2.2 $

可以看出：

  • 奇数项全部为 0
  • 偶数项为 $ 2 \cdot \frac{n+1}{n} = 2\left(1 + \frac{1}{n}\right) = 2 + \frac{2}{n} $，当 $ n \to \infty $ 时，趋近于 2

第三步：分析数列的收敛性

一个数列收敛，是指整个数列随着 $ n \to \infty $ 趋向于某个固定的极限值。

但这里：

  • 奇数项：始终为 0，所以奇数项子列收敛到 0
  • 偶数项：趋于 2

也就是说：

  • 子列 $ a_{2k} \to 2 $
  • 子列 $ a_{2k-1} \to 0 $

由于存在两个子列趋于不同的极限（0 和 2），所以原数列不收敛。

> 重要结论：如果一个数列收敛，那么它的所有子列都收敛到同一个极限。反之，如果有两个子列收敛到不同极限，则原数列发散。

第四步：结论

数列 $ \left\{ \left[ (-1)^n + 1 \right] \cdot \frac{n+1}{n} \right\} $ 的奇数项趋于 0，偶数项趋于 2，整体不收敛。

答案：

$\boxed{\text{B 错}}$

解析

考查要点：本题主要考查数列的收敛性判断，特别是通过分析子列的极限来判断原数列是否收敛。

解题核心思路：

  1. 分解数列结构：将数列拆分为振荡项$(-1)^n +1$和趋近项$\frac{n+1}{n}$。
  2. 分析奇偶项行为：分别计算奇数项和偶数项的表达式，观察其极限。
  3. 判断收敛性：若存在不同子列的极限不同，则原数列发散。

破题关键点：

  • 振荡项的周期性：$(-1)^n$的奇偶性导致数列奇偶项取值不同。
  • 子列极限矛盾：奇数项恒为0，偶数项趋近于2，极限不一致。

数列结构分解

数列可表示为：
$a_n = \left[ (-1)^n + 1 \right] \cdot \frac{n+1}{n}$
其中：

  • 振荡项：$(-1)^n +1$，当$n$为偶数时为$2$，奇数时为$0$。
  • 趋近项：$\frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$，当$n \to \infty$时趋近于$1$。

奇偶项分析

  1. 奇数项（$n=2k-1$，$k=1,2,\dots$）：
    $a_{2k-1} = \left[ (-1)^{2k-1} + 1 \right] \cdot \frac{2k}{2k-1} = 0 \cdot \frac{2k}{2k-1} = 0$
    极限：$\lim\limits_{k \to \infty} a_{2k-1} = 0$。

  2. 偶数项（$n=2k$，$k=1,2,\dots$）：
    $a_{2k} = \left[ (-1)^{2k} + 1 \right] \cdot \frac{2k+1}{2k} = 2 \cdot \left(1 + \frac{1}{2k}\right)$
    当$k \to \infty$时，$\frac{1}{2k} \to 0$，故：
    $\lim\limits_{k \to \infty} a_{2k} = 2 \cdot 1 = 2$

收敛性判断

  • 奇数项子列极限为$0$，偶数项子列极限为$2$，两者不相等。
  • 根据收敛数列的子列极限一致性，原数列不收敛。