题目
5.设总体X服从标准正态分布，X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自X的一个样本，问：统计量Y=((frac(n)/(5)-1)sum_{i=1)^5X_(i)^2}(sum_{i=6)^nX_(i)^2},n>5服从何种分布？
5.设总体X服从标准正态分布，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自X的一个样本，问：统计量$Y=\frac{\left(\frac{n}{5}-1\right)\sum_{i=1}^{5}X_{i}^{2}}{\sum_{i=6}^{n}X_{i}^{2}},n>5$服从何种分布？
题目解答
答案
由题意，$X_i \sim N(0,1)$，则$\sum_{i=1}^{5} X_i^2 \sim \chi^2(5)$，$\sum_{i=6}^{n} X_i^2 \sim \chi^2(n-5)$，且两者独立。
统计量可重写为：
\[ Y = \frac{n-5}{5} \frac{\sum_{i=1}^{5} X_i^2}{\sum_{i=6}^{n} X_i^2} = \frac{\sum_{i=1}^{5} X_i^2 / 5}{\sum_{i=6}^{n} X_i^2 / (n-5)} \]
根据F分布定义，$\frac{U/m}{V/n} \sim F(m,n)$，其中$U \sim \chi^2(m)$，$V \sim \chi^2(n)$，故
\[ Y \sim F(5, n-5) \]
**答案：**
$\boxed{F(5, n-5)}$
解析
步骤 1：确定样本平方和的分布
由于$X_i \sim N(0,1)$，则$\sum_{i=1}^{5} X_i^2 \sim \chi^2(5)$，$\sum_{i=6}^{n} X_i^2 \sim \chi^2(n-5)$，且两者独立。
步骤 2：重写统计量
统计量可重写为：\[ Y = \frac{n-5}{5} \frac{\sum_{i=1}^{5} X_i^2}{\sum_{i=6}^{n} X_i^2} = \frac{\sum_{i=1}^{5} X_i^2 / 5}{\sum_{i=6}^{n} X_i^2 / (n-5)} \]
步骤 3：应用F分布定义
根据F分布定义，$\frac{U/m}{V/n} \sim F(m,n)$，其中$U \sim \chi^2(m)$，$V \sim \chi^2(n)$，故 \[ Y \sim F(5, n-5) \]
由于$X_i \sim N(0,1)$，则$\sum_{i=1}^{5} X_i^2 \sim \chi^2(5)$，$\sum_{i=6}^{n} X_i^2 \sim \chi^2(n-5)$，且两者独立。
步骤 2：重写统计量
统计量可重写为：\[ Y = \frac{n-5}{5} \frac{\sum_{i=1}^{5} X_i^2}{\sum_{i=6}^{n} X_i^2} = \frac{\sum_{i=1}^{5} X_i^2 / 5}{\sum_{i=6}^{n} X_i^2 / (n-5)} \]
步骤 3：应用F分布定义
根据F分布定义，$\frac{U/m}{V/n} \sim F(m,n)$，其中$U \sim \chi^2(m)$，$V \sim \chi^2(n)$，故 \[ Y \sim F(5, n-5) \]