题目

7.填空题设A，B，C为随机事件，且A，C互不相容，P(AB)=0.5，P(C)=1/3则P(AB|overline(C))=_____.

7.填空题 设A，B，C为随机事件，且A，C互不相容，P(AB)=0.5，P(C)=1/3则P(AB|$\overline{C}$)=_____.

题目解答

答案

为了求解 $ P(AB|\overline{C}) $，我们首先使用条件概率的定义。条件概率 $ P(AB|\overline{C}) $ 的定义为： \[ P(AB|\overline{C}) = \frac{P(AB \cap \overline{C})}{P(\overline{C})} \] 已知 $ P(C) = \frac{1}{3} $，因此 $ P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $。 接下来，我们需要求 $ P(AB \cap \overline{C}) $。由于 $ A $ 和 $ C $ 互不相容，即 $ A \cap C = \emptyset $，因此 $ A \subseteq \overline{C} $。这意味着 $ AB \subseteq \overline{C} $，从而 $ AB \cap \overline{C} = AB $。所以，我们有： \[ P(AB \cap \overline{C}) = P(AB) \] 已知 $ P(AB) = 0.5 $，代入上式得： \[ P(AB \cap \overline{C}) = 0.5 \] 现在，我们可以将 $ P(AB \cap \overline{C}) $ 和 $ P(\overline{C}) $ 代入条件概率的定义中： \[ P(AB|\overline{C}) = \frac{P(AB \cap \overline{C})}{P(\overline{C})} = \frac{0.5}{\frac{2}{3}} = \frac{0.5 \times 3}{2} = \frac{1.5}{2} = \frac{3}{4} \] 因此，答案是： \[ \boxed{\frac{3}{4}} \]

解析

考查要点：本题主要考查条件概率的计算，以及事件互不相容性质的应用。

解题核心思路：

  1. 条件概率公式：利用条件概率的定义式，将所求概率转化为两个概率的比值。
  2. 互不相容性质：A与C互不相容意味着A的发生必然导致C不发生，从而推导出事件间的关系。
  3. 简化概率计算：通过事件包含关系，将复杂的交集概率转化为已知概率。

破题关键点：

  • 关键推导：由A与C互不相容，得出A必然包含在¬C中，从而AB∩¬C=AB，简化分子计算。

条件概率公式：
根据条件概率的定义，
$P(AB|\overline{C}) = \frac{P(AB \cap \overline{C})}{P(\overline{C})}.$

计算分母：
已知$P(C) = \frac{1}{3}$，因此
$P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.$

计算分子：
由于A与C互不相容（$A \cap C = \emptyset$），A的发生必然导致C不发生，即$A \subseteq \overline{C}$。因此，
$AB \subseteq \overline{C} \implies AB \cap \overline{C} = AB.$
已知$P(AB) = 0.5$，故
$P(AB \cap \overline{C}) = P(AB) = 0.5.$

代入公式：
$P(AB|\overline{C}) = \frac{0.5}{\frac{2}{3}} = \frac{0.5 \times 3}{2} = \frac{3}{4}.$