题目
1.在正态总体X~N(52,6.3²)中随机抽取一个容量为36的样本，试求样本均值overline(X)落在50.8到53.8之间的概率.
1.在正态总体X~N(52,6.3²)中随机抽取一个容量为36的样本，试求样本均值$\overline{X}$落在50.8到53.8之间的概率.
题目解答
答案
已知总体 $X \sim N(52, 6.3^2)$，样本容量 $n = 36$。样本均值 $\overline{X}$ 服从正态分布 $N\left(52, \frac{6.3^2}{36}\right)$，即 $N(52, 1.05^2)$。
将 $\overline{X}$ 标准化得 $Z = \frac{\overline{X} - 52}{1.05}$，则 $Z \sim N(0, 1)$。
计算概率：
\[
P(50.8 \leq \overline{X} \leq 53.8) = P\left(-1.1429 \leq Z \leq 1.7143\right)
\]
其中，$-1.1429 = \frac{50.8 - 52}{1.05}$，$1.7143 = \frac{53.8 - 52}{1.05}$。
查表得：
\[
\Phi(1.7143) \approx 0.9564, \quad \Phi(-1.1429) \approx 0.1271
\]
或
\[
\Phi(1.7143) \approx 0.9564, \quad \Phi(1.1429) \approx 0.8729
\]
因此，概率为：
\[
\Phi(1.7143) - \Phi(-1.1429) \approx 0.9564 - 0.1271 = 0.8293
\]
或
\[
\Phi(1.7143) + \Phi(1.1429) - 1 \approx 0.9564 + 0.8729 - 1 = 0.8293
\]
答案：$\boxed{0.8293}$
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
已知总体 $X \sim N(52, 6.3^2)$，样本容量 $n = 36$。根据中心极限定理，样本均值 $\overline{X}$ 服从正态分布 $N\left(52, \frac{6.3^2}{36}\right)$，即 $N(52, 1.05^2)$。
步骤 2：标准化样本均值
将 $\overline{X}$ 标准化得 $Z = \frac{\overline{X} - 52}{1.05}$，则 $Z \sim N(0, 1)$。
步骤 3：计算概率
计算概率： \[ P(50.8 \leq \overline{X} \leq 53.8) = P\left(-1.1429 \leq Z \leq 1.7143\right) \] 其中，$-1.1429 = \frac{50.8 - 52}{1.05}$，$1.7143 = \frac{53.8 - 52}{1.05}$。 查表得： \[ \Phi(1.7143) \approx 0.9564, \quad \Phi(-1.1429) \approx 0.1271 \] 或 \[ \Phi(1.7143) \approx 0.9564, \quad \Phi(1.1429) \approx 0.8729 \] 因此，概率为： \[ \Phi(1.7143) - \Phi(-1.1429) \approx 0.9564 - 0.1271 = 0.8293 \] 或 \[ \Phi(1.7143) + \Phi(1.1429) - 1 \approx 0.9564 + 0.8729 - 1 = 0.8293 \]
已知总体 $X \sim N(52, 6.3^2)$，样本容量 $n = 36$。根据中心极限定理，样本均值 $\overline{X}$ 服从正态分布 $N\left(52, \frac{6.3^2}{36}\right)$，即 $N(52, 1.05^2)$。
步骤 2：标准化样本均值
将 $\overline{X}$ 标准化得 $Z = \frac{\overline{X} - 52}{1.05}$，则 $Z \sim N(0, 1)$。
步骤 3：计算概率
计算概率： \[ P(50.8 \leq \overline{X} \leq 53.8) = P\left(-1.1429 \leq Z \leq 1.7143\right) \] 其中，$-1.1429 = \frac{50.8 - 52}{1.05}$，$1.7143 = \frac{53.8 - 52}{1.05}$。 查表得： \[ \Phi(1.7143) \approx 0.9564, \quad \Phi(-1.1429) \approx 0.1271 \] 或 \[ \Phi(1.7143) \approx 0.9564, \quad \Phi(1.1429) \approx 0.8729 \] 因此，概率为： \[ \Phi(1.7143) - \Phi(-1.1429) \approx 0.9564 - 0.1271 = 0.8293 \] 或 \[ \Phi(1.7143) + \Phi(1.1429) - 1 \approx 0.9564 + 0.8729 - 1 = 0.8293 \]