可导函数一定连续。A. 正确B. 错误

本题考查可导函数与连续函数的关系，解题思路是根据函数可导和连续的定义，通过推导可导函数是否满足连续的条件来判断该命题的正确性。

1. 明确函数可导和连续的定义

• 函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导的定义为：$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ 存在。
• 函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 连续的定义为：$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim\limits_{\Delta x \to 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0$。

2. 推导可导函数是否满足连续的条件

已知函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可导，即 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \内容：$
$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim\limits_{\Delta x \to 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$
将上式变形为：$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \left[\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \cdot \Delta x\right]$
根据极限的乘法法则：若 $\lim\limits_{x \to a} g(x)$ 和 $\lim\limits_{x \to a} h(x)$ 都存在，则 $\lim\limits_{x \to a} [g(x) \cdot h(x)] = \lim\limits_{x \to a} g(x) \cdot \lim\limits_{x \to a} h(x)$。
在这里 $g(\Delta x)=\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$，$h(\Delta x)=\Delta x$。
因为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可导，所以 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}=f^\prime(x_0)$ 存在；而 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta x = 0$。
则 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \cdot \ \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta x = f^\prime(x_0) \cdot 0 = 0$。
这满足函数在点 $x_0$ 连续的定义。
所以可导函数一定连续，该命题正确。