设 f(x)=10x^2，试按定义求 f'(-1)。证明 (cos x)'=-sin x。下列各题中均假定 f'(x_0) 存在，按照导数定义观察下列极限，指出 A 表示什么；(1) lim_(Delta x to 0) (f(x_0 - Delta x) - f(x_0))/(Delta x) = A；(2) lim_(x to 0) (f(x))/(x)，其中 f(0)=0，且 f'(0) 存在；(3) lim_(h to 0) (f(x_0 + h) - f(x_0 - h))/(h) = A。

我们逐题来分析并解答，严格按照导数定义进行推导。

第一题：设 $ f(x) = 10x^2 $，试按定义求 $ f'(-1) $

解题过程：

根据导数的定义，函数 $ f(x) $ 在点 $ x = -1 $ 处的导数为：

$f'(-1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(-1 + \Delta x) - f(-1)}{\Delta x}$

先计算 $ f(-1 + \Delta x) $ 和 $ f(-1) $：

• $ f(-1 + \Delta x) = 10(-1 + \Delta x)^2 = 10(1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2) = 10 - 20\Delta x + 10(\Delta x)^2 $
• $ f(-1) = 10(-1)^2 = 10 $

代入极限表达式：

$f'(-1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(10 - 20\Delta x + 10(\Delta x)^2) - 10}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-20\Delta x + 10(\Delta x)^2}{\Delta x}$

化简：

$= \lim_{\Delta x \to 0} \left( -20 + 10\Delta x \right) = -20$

答案：
$\boxed{f'(-1) = -20}$

第二题：证明 $ (\cos x)' = -\sin x $

解题过程：

根据导数定义：

$(\cos x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x + h) - \cos x}{h}$

利用余弦的和角公式：

$\cos(x + h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h$

代入得：

$\frac{\cos(x + h) - \cos x}{h} = \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h} = \cos x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \cdot \frac{\sin h}{h}$

取极限 $ h \to 0 $，利用两个重要极限：

• $ \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1 $
• $ \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h} = 0 $，即 $ \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0 $

注意：实际上 $ \frac{\cos h - 1}{h} \to 0 $，但更精确地，我们知道：

$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0, \quad \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$

因此：

$(\cos x)' = \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 = -\sin x$

结论得证：
$\boxed{(\cos x)' = -\sin x}$

第三题：下列各题中均假定 $ f'(x_0) $ 存在，按导数定义指出 $ A $ 表示什么

(1)

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 - \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = A$

分析：

我们做变量替换：令 $ h = -\Delta x $，则当 $ \Delta x \to 0 $ 时，$ h \to 0 $，代入得：

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 - \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{-h} = -\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = -f'(x_0)$

所以：
$\boxed{A = -f'(x_0)}$

(2)

$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}，其中 f(0) = 0，且 f'(0) 存在$

分析：

已知 $ f(0) = 0 $，所以可以写成：

$\frac{f(x)}{x} = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$

因此：

$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(0)$

所以：
$\boxed{A = f'(0)}$

(3)

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h} = A$

分析：

我们将分子拆解：

$f(x_0 + h) - f(x_0 - h) = [f(x_0 + h) - f(x_0)] + [f(x_0) - f(x_0 - h)]$

所以：

$\frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} + \frac{f(x_0) - f(x_0 - h)}{h}$

第二个项可以改写为：

$\frac{f(x_0) - f(x_0 - h)}{h} = \frac{f(x_0 - h) - f(x_0)}{-h} \to f'(x_0) \quad \text{当 } h \to 0$

第一个项 $ \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \to f'(x_0) $

所以整体极限为：

$f'(x_0) + f'(x_0) = 2f'(x_0)$

因此：
$\boxed{A = 2f'(x_0)}$

最终答案汇总：

1. $ f'(-1) = \boxed{-20} $

2. 证明 $ (\cos x)' = -\sin x $：已通过定义和三角恒等式完成，结论成立。

3. 各极限中 $ A $ 的含义：

   • (1) $ \boxed{A = -f'(x_0)} $
   • (2) $ \boxed{A = f'(0)} $
   • (3) $ \boxed{A = 2f'(x_0)} $