设 z={(x y)/(x+y), x+y neq 0 0, x+y=0,. 则 A. z_(x)^prime(0,0)，z_(y)^prime(0,0) 都存在B. lim _(x arrow 0) z(x, y) 存在C. z(x, y) 在 (0,0) 连续D. z(x, y) 在 (0,0) 可微

为了确定给定函数 $z$ 的正确选项，我们需要逐步分析每个选项。

函数 $z$ 定义为：
$z = \begin{cases} \frac{xy}{x+y}, & \text{如果 } x+y \neq 0 \\ 0, & \text{如果 } x+y = 0 \end{cases}$

选项 A: $z_x'(0,0)$ 和 $z_y'(0,0)$ 都存在

为了找到 $z_x'(0,0)$，我们使用偏导数的定义：
$z_x'(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{z(h,0) - z(0,0)}{h}$
由于 $z(h,0) = \frac{h \cdot 0}{h+0} = 0$ 和 $z(0,0) = 0$，我们有：
$z_x'(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$
因此，$z_x'(0,0)$ 存在且为 0。

同样，为了找到 $z_y'(0,0)$，我们使用偏导数的定义：
$z_y'(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{z(0,k) - z(0,0)}{k}$
由于 $z(0,k) = \frac{0 \cdot k}{0+k} = 0$ 和 $z(0,0) = 0$，我们有：
$z_y'(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0$
因此，$z_y'(0,0)$ 存在且为 0。

因此，选项 A 是正确的。

选项 B: $\lim_{x \to 0, y \to 0} z(x,y)$ 存在

为了确定极限 $\lim_{x \to 0, y \to 0} z(x,y)$ 是否存在，我们考虑沿不同路径接近 $(0,0)$ 的极限。

1. 沿路径 $y = x$：
   $z(x,x) = \frac{x \cdot x}{x + x} = \frac{x^2}{2x} = \frac{x}{2}$
   当 $x \to 0$ 时，$z(x,x) \to 0$。

2. 沿路径 $y = -x + x^2$：
   $z(x, -x + x^2) = \frac{x(-x + x^2)}{x + (-x + x^2)} = \frac{-x^2 + x^3}{x^2} = -1 + x$
   当 $x \to 0$ 时，$z(x, -x + x^2) \to -1$。

由于沿不同路径的极限不同，极限 $\lim_{x \to 0, y \to 0} z(x,y)$ 不存在。因此，选项 B 是不正确的。

选项 C: $z(x,y)$ 在 $(0,0)$ 连续

为了使 $z(x,y)$ 在 $(0,0)$ 连续，极限 $\lim_{x \to 0, y \to 0} z(x,y)$ 必须等于 $z(0,0)$。由于极限 $\lim_{x \to 0, y \to 0} z(x,y)$ 不存在，$z(x,y)$ 在 $(0,0)$ 不连续。因此，选项 C 是不正确的。

选项 D: $z(x,y)$ 在 $(0,0)$ 可微

为了使 $z(x,y)$ 在 $(0,0)$ 可微，函数必须在 $(0,0)$ 连续，且偏导数必须在 $(0,0)$ 连续。由于 $z(x,y)$ 在 $(0,0)$ 不连续，$z(x,y)$ 在 $(0,0)$ 不可微。因此，选项 D 是不正确的。

因此，正确选项是 $\boxed{A}$。