题目
九、已知A=}1&0&0&01&2&0&02&1&3&01&2&1&4.(10分)
九、已知$A=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&2&0&0\\2&1&3&0\\1&2&1&4\end{pmatrix}$,利用矩阵的分块求$A^{-1}.$(10分)
题目解答
答案
将矩阵 $ A $ 分块为 $ A = \begin{pmatrix} B & 0 \\ C & D \end{pmatrix} $，其中
\[ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}. \]
根据分块矩阵求逆公式，
\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} B^{-1} & 0 \\ -D^{-1}CB^{-1} & D^{-1} \end{pmatrix}. \]
首先计算 $ B^{-1} $：
\[ B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \text{adj}(B) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \]
接着计算 $ D^{-1} $：
\[ D^{-1} = \frac{1}{\det(D)} \text{adj}(D) = \frac{1}{12} \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\ -\frac{1}{12} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}. \]
然后计算 $ -D^{-1}CB^{-1} $：
\[ CB^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \]
\[ -D^{-1}CB^{-1} = -\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\ -\frac{1}{12} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{8} & \frac{5}{24} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \\ \frac{1}{8} & -\frac{5}{24} \end{pmatrix}. \]
最终，
\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{1}{8} & -\frac{5}{24} & -\frac{1}{12} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}. \]
答案：
\[
\boxed{
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
-\frac{1}{2} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & 0 \\
\frac{1}{8} & -\frac{5}{24} & -\frac{1}{12} & \frac{1}{4}
\end{pmatrix}
}
\]