4.3 已知某种机械零件的直径(单位:mm )服从正态分布N (100,0.6^2),规定直径在范-|||-围 (100pm 1.2)mm 内为合格品,求这种机械零件的不合格品率.

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及将实际问题转化为标准正态分布，利用标准正态分布表求解概率。

解题核心思路：

1. 确定合格范围对应的区间：题目中合格范围为$(100 \pm 1.2)$，即$[98.8, 101.2]$。
2. 标准化处理：将区间端点转换为标准正态分布的$Z$值，即$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
3. 查标准正态分布表：计算对应$Z$值的累积概率，求出合格率。
4. 求不合格品率：用$1$减去合格率即可。

破题关键点：

• 正确计算$Z$值：注意上下限的计算，避免符号错误。
• 准确查表：标准正态分布表中$Z=2$和$Z=-2$对应的累积概率分别为$0.9772$和$0.0228$。

设机械零件的直径为$X$，则$X \sim N(100, 0.6^2)$。合格范围为$98.8 \leq X \leq 101.2$，需计算该区间的概率，再求其补集。

步骤1：标准化区间端点

• 下限标准化：
  $Z_1 = \frac{98.8 - 100}{0.6} = \frac{-1.2}{0.6} = -2$
• 上限标准化：
  $Z_2 = \frac{101.2 - 100}{0.6} = \frac{1.2}{0.6} = 2$

步骤2：查标准正态分布表

• $Z = -2$对应的累积概率为$\Phi(-2) = 0.0228$。
• $Z = 2$对应的累积概率为$\Phi(2) = 0.9772$。

步骤3：计算合格率

合格率即区间$[-2, 2]$内的概率：
$P(98.8 \leq X \leq 101.2) = \Phi(2) - \Phi(-2) = 0.9772 - 0.0228 = 0.9544$

步骤4：求不合格品率

不合格品率为：
$1 - 0.9544 = 0.0456 = 4.56\%$