题目

3.由正态总体N(100，4)抽取两个独立样本，样本均值分别为overline(x),overline(y)，样本容量分别为15，20，试求P(|overline(x)-overline(y)|>0.2).

3.由正态总体N(100，4)抽取两个独立样本，样本均值分别为$\overline{x},\overline{y}$，样本容量分别为15，20，试求P($|\overline{x}-\overline{y}|>0.2$).

题目解答

答案

设正态总体 $ N(100, 4) $，样本均值 $\overline{x}$ 和 $\overline{y}$ 分别来自样本容量为 15 和 20 的独立样本。 $\overline{x} \sim N(100, \frac{4}{15})$，$\overline{y} \sim N(100, \frac{4}{20})$。 差值 $\overline{x} - \overline{y} \sim N(0, \frac{4}{15} + \frac{4}{20}) = N(0, \frac{7}{15})$。 求 $ P(|\overline{x} - \overline{y}| > 0.2) $，等价于 $ 2P(\overline{x} - \overline{y} > 0.2) $。 标准化得 $ Z = \frac{\overline{x} - \overline{y}}{\sqrt{\frac{7}{15}}} \sim N(0, 1) $， $ P(Z > \frac{0.2}{\sqrt{\frac{7}{15}}}) = P(Z > 0.29277) \approx 0.3859 $。 因此，$ P(|\overline{x} - \overline{y}| > 0.2) \approx 2 \times 0.3859 = 0.7718 $。 **答案：** $\boxed{0.7718}$

解析

本题考查正态分布的性质以及样本均值的分布，还有利用标准正态分布来计算概率。解题的关键思路是先根据正态总体和样本容量确定样本均值的分布，再求出两个样本均值差值的分布，最后通过标准化变换将其转化为标准正态分布来计算所需概率。

  1. 确定样本均值的分布：
    • 已知总体$X\sim N(100,4)$，对于样本容量为$n_1 = 15$的样本，其样本均值$\overline{x}$服从正态分布$\overline{x}\sim N(100,\frac{4}{15})$。这是因为若总体$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，样本容量为$n$，则样本均值$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$，这里$\mu = 100$，$\sigma^2 = 4$，$n = 15$。
    • 同理，对于样本容量为$n_2 = 20$的样本，其样本均值$\overline{y}$服从正态分布$\overline{y}\sim N(100,\frac{4}{20})$。
  2. 求$\overline{x}-\overline{y}$的分布：
    • 因为$\overline{x}$和$\overline{y}$相互独立，根据正态分布的性质：若$X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$，且$X_1$与$X_2$相互独立，则$X_1 - X_2\sim N(\mu_1 - \mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$。
    • 对于$\overline{x}-\overline{y}$，$\mu_1=\mu_2 = 100$，$\sigma_1^2=\frac{4}{15}$，$\sigma_2^2=\frac{4}{20}$，所以$\overline{x}-\overline{y}\sim N(100 - 100,\frac{4}{15}+\frac{4}{20})$。
    • 计算$\frac{4}{15}+\frac{4}{20}=\frac{16 + 12}{60}=\frac{28}{60}=\frac{7}{15}$，即$\overline{x}-\overline{y}\sim N(0,\frac{7}{15})$。
  3. 将所求概率转化为标准正态分布概率：
    • 要求$P(|\overline{x}-\overline{y}|>0.2)$，根据绝对值不等式的性质$P(|\overline{x}-\overline{y}|>0.2)=P(\overline{x}-\overline{y}>0.2)+P(\overline{x}-\overline{y}<-0.2)$。
    • 由于正态分布的对称性，$P(\overline{x}-\overline{y}>0.2)=P(\overline{x}-\overline{y}<-0.2)$，所以$P(|\overline{x}-\overline{y}|>0.2)=2P(\overline{x}-\overline{y}>0.2)$。
    • 对$\overline{x}-\overline{y}$进行标准化变换，令$Z=\frac{\overline{x}-\overline{y}}{\sqrt{\frac{7}{15}}}$，则$Z\sim N(0,1)$。
    • 那么$P(\overline{x}-\overline{y}>0.2)=P(\frac{\overline{x}-\overline{y}}{\sqrt{\frac{7}{15}}}>\frac{0.2}{\sqrt{\frac{7}{15}}})$，即$P(Z>\frac{0.2}{\sqrt{\frac{7}{15}}})$。
    • 计算$\frac{0.2}{\sqrt{\frac{7}{15}}}\approx0.29277$，所以$P(Z > 0.29277)$。
    • 通过查标准正态分布表或使用统计软件可得$P(Z > 0.29277)\approx0.3859$。
  4. 计算最终概率：
    • 因为$P(|\overline{x}-\overline{y}|>0.2)=2P(\overline{x}-\overline{y}>0.2)$，所以$P(|\overline{x}-\overline{y}|>0.2)\approx2\times0.3859 = 0.7718$。