题目
设总体X的均值为μ,方差为σ^2,X1,X2,···-|||-,_(n)(ngt 2) 为样本,已知X与X 1均是μ的无-|||-偏估计量,比较这两个估计量得, () 更有-|||-效.2) 为样本，已知 bar(X) 与 X_1 均是 mu 的无&偏估计量，比较这两个估计量得，(({ )})更有&效. end (aligned)" data-width="374" data-height="125" data-size="16137" data-format="png" style="max-width:100%">
2) 为样本，已知 \bar{X} 与 X_1 均是 \mu 的无\\&偏估计量，比较这两个估计量得，({{\quad}})更有\\&效.
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题目解答
答案
解析
步骤 1：定义无偏估计量
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即对于参数 \(\mu\)，如果估计量 \(T\) 满足 \(E(T) = \mu\)，则称 \(T\) 是 \(\mu\) 的无偏估计量。
步骤 2：计算 \(\bar{X}\) 的期望值
\(\bar{X}\) 是样本均值，其定义为 \(\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\)。由于 \(X_i\) 是独立同分布的随机变量，且每个 \(X_i\) 的期望值为 \(\mu\)，则 \(\bar{X}\) 的期望值为：
\[E(\bar{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mu = \mu\]
因此，\(\bar{X}\) 是 \(\mu\) 的无偏估计量。
步骤 3：计算 \(X_1\) 的期望值
\(X_1\) 是样本中的一个随机变量，其期望值为 \(\mu\)。因此，\(X_1\) 也是 \(\mu\) 的无偏估计量。
步骤 4：比较 \(\bar{X}\) 和 \(X_1\) 的方差
估计量的有效性通常通过其方差来衡量。方差越小，估计量越有效。由于 \(X_i\) 是独立同分布的随机变量，且每个 \(X_i\) 的方差为 \(\sigma^2\)，则 \(\bar{X}\) 的方差为：
\[Var(\bar{X}) = Var\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} Var(X_i) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}\]
而 \(X_1\) 的方差为 \(\sigma^2\)。因此，\(\bar{X}\) 的方差小于 \(X_1\) 的方差，即 \(\frac{\sigma^2}{n} < \sigma^2\)。
步骤 5：结论
由于 \(\bar{X}\) 的方差小于 \(X_1\) 的方差，因此 \(\bar{X}\) 比 \(X_1\) 更有效。
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即对于参数 \(\mu\)，如果估计量 \(T\) 满足 \(E(T) = \mu\)，则称 \(T\) 是 \(\mu\) 的无偏估计量。
步骤 2：计算 \(\bar{X}\) 的期望值
\(\bar{X}\) 是样本均值，其定义为 \(\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\)。由于 \(X_i\) 是独立同分布的随机变量，且每个 \(X_i\) 的期望值为 \(\mu\)，则 \(\bar{X}\) 的期望值为：
\[E(\bar{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mu = \mu\]
因此，\(\bar{X}\) 是 \(\mu\) 的无偏估计量。
步骤 3：计算 \(X_1\) 的期望值
\(X_1\) 是样本中的一个随机变量，其期望值为 \(\mu\)。因此，\(X_1\) 也是 \(\mu\) 的无偏估计量。
步骤 4：比较 \(\bar{X}\) 和 \(X_1\) 的方差
估计量的有效性通常通过其方差来衡量。方差越小，估计量越有效。由于 \(X_i\) 是独立同分布的随机变量，且每个 \(X_i\) 的方差为 \(\sigma^2\)，则 \(\bar{X}\) 的方差为：
\[Var(\bar{X}) = Var\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} Var(X_i) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}\]
而 \(X_1\) 的方差为 \(\sigma^2\)。因此，\(\bar{X}\) 的方差小于 \(X_1\) 的方差，即 \(\frac{\sigma^2}{n} < \sigma^2\)。
步骤 5：结论
由于 \(\bar{X}\) 的方差小于 \(X_1\) 的方差，因此 \(\bar{X}\) 比 \(X_1\) 更有效。