题目
若复平面上区域 D 是由所有满足 |z| < 2 的点组成，则该区域是 ____。
若复平面上区域 $D$ 是由所有满足 $|z| < 2$ 的点组成，则该区域是 ____。
题目解答
答案
复平面上区域 $ D $ 由所有满足 $ |z| < 2 $ 的点组成。根据复数的模长定义，$ |z| = \sqrt{x^2 + y^2} $，其中 $ z = x + yi $。不等式 $ |z| < 2 $ 可以转化为 $ \sqrt{x^2 + y^2} < 2 $，即 $ x^2 + y^2 < 4 $。这表示以原点为圆心、半径为 2 的圆的内部区域，但不包括圆周本身。因此，该区域是以原点为圆心、半径为 2 的圆的内部（或开圆盘）。
答案：以原点为圆心、半径为 2 的圆的内部（或开圆盘）。
（注：表述可以有多种方式，如“圆心在原点、半径为 2 的开圆盘”等，只要意思正确即可。）
解析
本题考查复数的模长定义以及其在复平面上所表示的区域。解题思路是先根据复数的模长公式将复数模长的不等式转化为直角坐标系下的不等式，再根据该不等式判断其在复平面上所表示的区域。
- 设复数$z = x + yi$，其中$x,y\in R$，根据复数的模长定义，复数$z$的模长$\vert z\vert$为：
- $\vert z\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$。
- 已知区域$D$是由所有满足$\vert z\vert\lt 2$的点组成，将$\vert z\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$代入不等式$\vert z\vert\lt 2$中，得到：
- $\sqrt{x^{2}+y^{2}}\lt 2$。
- 为了更直观地看出该不等式所表示的区域，对不等式两边同时平方（因为两边都是非负的，平方后不等号方向不变），可得：
- $(\sqrt{x^{2}+y^{2}})^2\lt 2^2$，即$x^{2}+y^{2}\lt 4$。
- 在平面直角坐标系中，方程$x^{2}+y^{2}=r^{2}$表示以原点$(0,0)$为圆心，半径为$r$的圆。那么不等式$x^{2}+y^{2}\lt 4$（也就是$x^{2}+y^{2}\lt 2^{2}$）表示的是以原点$(0,0)$为圆心，半径为$2$的圆的内部所有点构成的区域，由于是严格小于$4$，所以不包括圆周本身，这个区域也被称为开圆盘。