题目

二次型f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_1+x_3)^2的秩为2.A 对B 错

二次型$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_1+x_3)^2$的秩为2.

A 对

B 错

题目解答

答案

为了判断题目中二次型的秩是否为 2，我们需要先求出该二次型对应的矩阵，然后计算该矩阵的秩。

第一步：展开二次型表达式
给定的二次型为：
$f(x_1, x_2, x_3) = (x_1 + x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + (x_1 + x_3)^2$

我们将各项展开：
$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$
$(x_2 - x_3)^2 = x_2^2 - 2x_2x_3 + x_3^2$
$(x_1 + x_3)^2 = x_1^2 + 2x_1x_3 + x_3^2$

将它们相加：
$f(x_1, x_2, x_3) = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) + (x_2^2 - 2x_2x_3 + x_3^2) + (x_1^2 + 2x_1x_3 + x_3^2)$

合并同类项：
$f(x_1, x_2, x_3) = (x_1^2 + x_1^2) + (x_2^2 + x_2^2) + (x_3^2 + x_3^2) + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 2x_2x_3$
$f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 2x_2x_3$

第二步：写出二次型的矩阵
二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ 对应的对称矩阵 $A$ 的元素 $a_{ij}$ 由 $x_i^2$ 的系数（当 $i=j$）和 $x_ix_j$ 系数的一半（当 $i \neq j$）决定。

  • 对角线元素：$a_{11} = 2$（$x_1^2$ 的系数），$a_{22} = 2$（$x_2^2$ 的系数），$a_{33} = 2$（$x_3^2$ 的系数）。
  • 非对角线元素：$a_{12} = a_{21} = \frac{2}{2} = 1$（$x_1x_2$ 系数的一半），$a_{13} = a_{31} = \frac{2}{2} = 1$（$x_1x_3$ 系数的一半），$a_{23} = a_{32} = \frac{-2}{2} = -1$（$x_2x_3$ 系数的一半）。

因此，二次型的矩阵 $A$ 为：
$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

第三步：计算矩阵 $A$ 的秩
我们对矩阵 $A$ 进行初等行变换，将其化为阶梯形矩阵：
$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

交换第 1 行和第 2 行：
$\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

第 2 行减去第 1 行的 2 倍 ($R_2 - 2R_1$)，第 3 行减去第 1 行 ($R_3 - R_1$)：
$\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 - 4 & 1 - (-2) \\ 0 & -1 - 2 & 2 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & -3 & 3 \end{pmatrix}$

第 3 行减去第 2 行 ($R_3 - R_2$)：
$\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

化简后的阶梯形矩阵有两个非零行，因此矩阵 $A$ 的秩为 2，即 $r(A) = 2$。

结论：
二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = (x_1 + x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + (x_1 + x_3)^2$ 的秩确实为 2。题目中的陈述是正确的。

因此，正确选项是 A 对。

解析

本题考查二次型的秩的计算，解题思路是先将二次型展开并合并同类项，然后根据二次型与对称矩阵的对应关系写出二次型的矩阵，最后通过对矩阵进行初等行变换化为阶梯形矩阵来计算矩阵的秩，进而判断二次型的秩是否为 2。

  1. 展开二次型表达式：
    给定二次型$f(x_1, x_2, x_3) = (x_1 + x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + (x_1 + x_3)^2$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开各项：
    $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$
    $(x_2 - x_3)^2 = x_2^2 - 2x_2x_3 + x_3^2$
    $(x_1 + x_3)^2 = x_1^2 + 2x_1x_3 + x_3^2$
    将它们相加并合并同类项：
    $\begin{align*}f(x_1, x_2, x_3)&=(x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2)+(x_2^2 - 2x_2x_3 + x_3^2)+(x_1^2 + 2x_1x_3 + x_3^2)\\&=(x_1^2 + x_1^2)+(x_2^2 + x_2^2)+(x_3^2 + x_3^2)+ 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 2x_2x_3\\&= 2x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 2x_2x_3\end{align*}$
  2. 写出二次型的矩阵：
    对于二次型$f(x_1, x_2, x_3) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其对称矩阵$A$的元素$a_{ij}$由$x_i^2$的系数（当$i = j$）和$x_ix_j$系数的一半（当$i \neq j$）决定。
    • 对角线元素：$a_{11} = 2$（$x_1^2$的系数），$a_{22} = 2$（$x_2^2$的系数），$a_{33} = 2$（$x_3^2$的系数）。
    • 非对角线元素：$a_{12} = a_{21} = \frac{2}{2} = 1$（$x_1x_2$系数的一半），$a_{13} = a_{31} = \frac{2}{2} = 1$（$x_1x_3$系数的一半），$a_{23} = a_{32} = \frac{-2}{2} = -1$（$x_2x_3$系数的一半）。
      所以二次型的矩阵$A$为：
      $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$
  3. 计算矩阵$A$的秩：
    对矩阵$A$进行初等行变换化为阶梯形矩阵：
    • 交换第 1 行和第 2 行：
      $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$
    • 第 2 行减去第 1 行的 2 倍（$R_2 - 2R_1$），第 3 行减去第 1 行（$R_3 - R_1$）：
      $\begin{align*}\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}&\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2-2\times1 & 1-2\times2 & 1-2\times(-1) \\ 1-1 & -1-2 & 2-(-1) \end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & -3 & 3 \end{pmatrix}\end{align*}$
    • 第 3 行减去第 2 行（$R_3 - R_2$）：
      $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & -3 & 3 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
      化简后的阶梯形矩阵有两个非零行，所以矩阵$A$的秩为 2，即$r(A) = 2$。
      由于二次型的秩等于其对应矩阵的秩，所以二次型$f(x_1, x_2, x_3)$的秩为 2，题目中的陈述是正确的。