题目
确定常数a,b的值，使函数f(x)={}(x+a)/(x^2)+1,&x<0b,&x=0,1+(2)/(x))^x,&x>0.在点x=0处连续.
确定常数a,b的值，使函数$f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x+a}{x^{2}+1},&x<0\\b,&x=0,\$1+\frac{2}{x})^{x},&x>0\end{matrix}\right.$在点x=0处连续.
题目解答
答案
要使函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续，需满足 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$。
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左极限：
当 $x < 0$ 时，$f(x) = \frac{x + a}{x^2 + 1}$，
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x + a}{x^2 + 1} = a.$ -
右极限：
当 $x > 0$ 时，$f(x) = \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x$，
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x = e^{\lim_{x \to 0^+} x \ln\left(1 + \frac{2}{x}\right)} = e^0 = 1.$ -
函数值：
$f(0) = b$。 -
连续条件：
由连续性条件，$a = 1$ 且 $b = 1$。
答案：$a = 1$，$b = 1$（或 $a = b = 1$）。
$\boxed{a = 1, b = 1}$