题目
加强儿童青少年近视防控,促进儿童青少年视力健康是中央关心、群众关切、社会关注的"光明工程".为了解青少年的视力与学习成绩间的关系,对某地区今年初中毕业生的视力和中考成绩进行调查.借助视力表测量视力情况,测量值5.0及以上为正常视力,5.0以下为近视.现从中随机抽取40名学生的视力测量值和中考成绩数据,得到视力的频率分布直方图如图:频率-|||-组距-|||-2.000-|||-1.250-|||-0.750-|||-0.625-|||-0.250-|||-0.125-|||-4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2其中,近视的学生中成绩优秀与成绩一般的人数比例为1:2,成绩一般的学生中视力正常与近视的人数比例为3:4.(1)根据频率分布直方图的数据,将下面的2times 2列联表补充完整,并判断是否有90%的把握认为视力情况与学习成绩有关.学习成绩视力情况视力正常近视合计成绩优秀成绩一般合计(2)将频率视为概率,从该地区今年初中毕业生中随机抽取3人,设近视的学生数为X,求X的分布列与期望.附:K^2=(n(ad-bc)^2)/((a+b)(c+d)(a+c)(b+d)),其中n=a+b+c+d.P(K^2geqslant k_(0))0.1000.0500.010k_(0)2.7063.8416.635
加强儿童青少年近视防控,促进儿童青少年视力健康是中央关心、群众关切、社会关注的"光明工程".为了解青少年的视力与学习成绩间的关系,对某地区今年初中毕业生的视力和中考成绩进行调查.借助视力表测量视力情况,测量值$5.0$及以上为正常视力,$5.0$以下为近视.现从中随机抽取$40$名学生的视力测量值和中考成绩数据,得到视力的频率分布直方图如图:
其中,近视的学生中成绩优秀与成绩一般的人数比例为$1:2$,成绩一般的学生中视力正常与近视的人数比例为$3:4$.
$(1)$根据频率分布直方图的数据,将下面的$2\times 2$列联表补充完整,并判断是否有$90\%$的把握认为视力情况与学习成绩有关.
$(2)$将频率视为概率,从该地区今年初中毕业生中随机抽取$3$人,设近视的学生数为$X$,求$X$的分布列与期望.
附:$K^{2}=\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中$n=a+b+c+d$.
其中,近视的学生中成绩优秀与成绩一般的人数比例为$1:2$,成绩一般的学生中视力正常与近视的人数比例为$3:4$.
$(1)$根据频率分布直方图的数据,将下面的$2\times 2$列联表补充完整,并判断是否有$90\%$的把握认为视力情况与学习成绩有关.
| 学习成绩视力情况 | 视力正常 | 近视 | 合计 |
| 成绩优秀 | |||
| 成绩一般 | |||
| 合计 |
附:$K^{2}=\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中$n=a+b+c+d$.
| $P(K^{2}\geqslant k_{0})$ | $0.100$ | $0.050$ | $0.010$ |
| $k_{0}$ | $2.706$ | $3.841$ | $6.635$ |
题目解答
答案
【答案】
(1)根据频率分布直方图，在抽取的$40$名学生样本中，视力正常的有$2\times 0.2\times 40=16$人，近视的有$40-16=24$，
因为近视的学生中成绩优秀与成绩一般的比例是$1:2$，
所以近视的学生中成绩优秀的有$24\times \frac{1}{3}=8$，成绩一般的有$24-8=16$人；
因为成绩一般的学生中视力正常与近视的人数比例为$3:4$，
所以成绩一般的学生中，视力正常的学生有$16\times \frac{3}{4}=12$人，
根据上述信息可填写下列$2\times 2$列联表：
| 视力正常 | 近视 | 合计 | |
| 成绩优秀 | $ 4$ | $ 8$ | $ 12$ |
| 成绩一般 | $ 12$ | $ 16$ | $ 28$ |
| 合计 | $ 16$ | $ 24$ | $ 40$ |
故没有$90\%$的把握认为视力情况与学习成绩有关；
$(2)$以频率视为概率，样本中近视的概率为$\frac{24}{40}=\frac{3}{5}$，
视力正常的概率为$\frac{2}{5}$，
由题意可知，近视的学生数$X$的所有可能取值为$0$，$1$，$2$，$3$，
以样本估计总体，可知$X\sim B(3$，$\frac{3}{5})$，
所以$P\left(X=0\right)={C}_{3}^{0}(\frac{3}{5})^{0}(\frac{2}{5})^{3}=\frac{8}{125}$，
$P\left(X=1\right)={C}_{3}^{1}(\frac{3}{5})^{1}(\frac{2}{5})^{2}=\frac{36}{125}$，
$P\left(X=2\right)={C}_{3}^{2}(\frac{3}{5})^{2}(\frac{2}{5})^{1}=\frac{54}{125}$，
$P\left(X=3\right)={C}_{3}^{3}(\frac{3}{5})^{3}(\frac{2}{5})^{0}=\frac{27}{125}$，
所以$X$的分布列为：
| $ X$ | $ 0$ | $ 1$ | $2$ | $3$ |
| $ P$ | $\frac{8}{125}$ | $\frac{36}{125}$ | $\frac{54}{125}$ | $\frac{27}{125}$ |