10.已知随机变量X的期望 E(X)=1 ,方差 D(X)=9 ,随机变量Y的期望 E(Y)=0 ,-|||-方差 D(Y)=16 ,相关系数 rho xy=-0.5 ,则 =dfrac (1)(3)X+dfrac (1)(2)Y 的期望 E(Z)=-|||-__ ,方差 D(Z)= __ o

本题主要考查随机变量的期望和方差的性质，以及利用相关系数计算二维随机变量线性组合的方差。

步骤1：计算期望$E(Z)$

期望的性质：对于任意常数$a,b$和随机变量$X,Y$，有$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$。
已知$Z=\frac{1}{3}X+\frac{1}{2}Y$，$E(X)=1$，$E(Y)=0$，代入得：
$E(Z)=\frac{1}{3}E(X)+\frac{1}{2}E(Y)=\frac{1}{3}\times1+\frac{1}{2}\times0=\frac{1}{3}$

步骤2：计算方差$D(Z)$

方差的性质：对于随机变量$X,Y$和常数$a,b$，有：
$D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2ab\rho_{XY}\sqrt{D(X)D(Y)}$
其中$\rho_{XY}$是$X$与$Y$的相关系数。

已知：

• $a=\frac{1}{3}$，$b=\frac{1}{2}$
• $D(X)=9$，$D(Y)=16$
• $\rho_{XY}=-0.5$

代入公式：
$\begin{align*}D(Z)&=\left(\frac{1}{3}\right)^2D(X)+\left(\frac{1}{2}\right)^2D(Y)+2\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times(-0.5)\times\sqrt{9\times16}\\&=\frac{1}{9}\times9+\frac{1}{4}\times16+2\times\frac{1}{6}\times(-0.5)\times12\\&=1+4-\frac{1}{3}\times12\\&=5-4=1?\quad(\text{此处发现原答案可能存在笔误，重新检查计算})\end{align*}$

修正计算：
协方差$\text{Cov}(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{D(X)D(Y)}=-0.5\times3\times4=-6$，则：
$D(Z)=\left(\frac{1}{3}\right)^2D(X)+\left(\frac{1}{2}\right)^2D(Y)+2\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\text{Cov}(X,Y)$
$=\frac{1}{9}\times9+\frac{1}{4}\times16+2\times\frac{1}{6}\times(-6)=1+4-2=3$
（原计算中$2ab\rho\sqrt{D(X)D(Y)}=2\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times(-0.5)\times12=-2$，正确结果为$1+4-2=3$，与原答案一致。）