14.[单选题]仪器中有三个元件，它们损坏的概率都是0.2，并且损坏与否相互独立.当一个元件损坏时，仪器发生故障的概率为0.25，当两个元件损坏时，仪器发生故障的概率为0.6，当三个元件损坏时，仪器发生故障的概率为0.95，当三个元件都不损坏时，仪器不发生故障.则仪器发生故障的概率为().A. 0.2B. 0.1612C. 0.1524D. 0.1618

本题考查全概率公式的应用，需先计算三个元件中不同损坏数量数量的概率，再结合对应故障概率求解。

步骤1：定义事件

• 设$A_k$：“三个元件中有$k$个损坏”（$k=0,1,2,3$），
• $B$：“仪器发生故障”。

由全概率公式：\\(P(B)=\sum_{k=0}^3 P(A_k)P(B|A_k|\)，其中：

• $P(B|A_0)=0$（0个损坏时仪器不故障），
• $P(B|A_1)=0.25$，$P(B|A_2)=0.6$，$B|A_3)=0.95$。

步骤2：计算$P(A_k)$

三个元件独立损坏与否相互独立，每个损坏概率$p=0.2$，故$A_k\sim B(3,0.2)$：

• $P(A_0)=C_3^0(0.2)^0(0.8)^3=1\times1\times0.512=0.512$，
• $P(A_1)=C_3^1(0.2)^1(0.8)^2=3\times0.2\times0.64=0.384$，
• $P(A_2)=C_3^2(0.2)^2(0.8)^1=3\times0.04\times0.8=0.096$，
• $P(A_3)=C_3^3(0.2)^3(0.8)^0=1\times0.008\times1=0.008$。

步骤3：代入全概率公式

$\begin{align*}P(B)&=P(A_0)P(B|A_0)+P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)\\&=0.512\times0 + 0.384\times0.25 + 0.096\times0.6 + 0.008\times0.95\\&=0 + 0.096 + 0.0576 + 0.0076\\&=0.1612\end{align*}$