19.. Deep Seek,全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司,2024年末 Deep Seek-R1 一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAIGPT-4.为提升工作效率，M 公司引入DeepSeek,并对员工进行了 DeepSeek培训.公司规定:只有培训合格才能上岗,否 则将补训. (1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为 (2)/(3), (1)/(2), (1)/(2), 求甲、乙、丙三人中至少有一人不需 要补训的概率; (2)为激发员工培训积极性,提升员工使用Deep Seek的能力,M公司在培训过后举办了一次 DeepSeek知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩Z近似服从正态分布N(90,9), 若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数(结果精确到个位) (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道 题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为 (3)/(4), 且 每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为X元，求X的分布列与数学期望E(X). 参考数据：若 Z sim N( mu , sigma ^2), _则 P( mu - sigma le Z le mu + sigma ) approx 0.6827,P( mu -2 sigma le Z le mu +2 sigma ) approx 0.9545, P( mu -3 sigma le Z le mu +3 sigma ) approx 0.9973.

为了解决这个问题，我们将分步骤进行。 ### 第一部分：甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率 1. **确定培训合格的概率：** - 员工甲培训合格的概率： $ P(A) = \frac{2}{3} $ - 员工乙培训合格的概率： $ P(B) = \frac{1}{2} $ - 员工丙培训合格的概率： $ P(C) = \frac{1}{2} $ 2. **确定培训不合格的概率：** - 员工甲培训不合格的概率： $ P(A^c) = 1 - P(A) = \frac{1}{3} $ - 员工乙培训不合格的概率： $ P(B^c) = 1 - P(B) = \frac{1}{2} $ - 员工丙培训不合格的概率： $ P(C^c) = 1 - P(C) = \frac{1}{2} $ 3. **计算三人都需要补训的概率：** \[ P(A^c \cap B^c \cap C^c) = P(A^c) \times P(B^c) \times P(C^c) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} \] 4. **计算至少有一人不需要补训的概率：** \[ P(\text{至少有一人不需要补训}) = 1 - P(\text{三人都需要补训}) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12} \] ### 第二部分：估计成绩超过93分的员工人数 1. **确定正态分布的参数：** - 均值 $ \mu = 90 $ - 标准差 $ \sigma = \sqrt{9} = 3 $ 2. **计算 $ Z = 93 $ 的 z 分数：** \[ z = \frac{93 - 90}{3} = 1 \] 3. **使用标准正态分布表找到 $ P(Z > 93) $：** \[ P(Z > 93) = P(Z > 1) = 1 - P(Z \le 1) \] 从标准正态分布表中， $ P(Z \le 1) \approx 0.8413 $ \[ P(Z > 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587 \] 4. **估计成绩超过93分的员工人数：** \[ \text{员工人数} = 2000 \times 0.1587 \approx 317.4 \approx 317 \] ### 第三部分：甲获得总奖金的分布列与数学期望 1. **确定答对题目数的分布：** - 甲答对每道题的概率： $ p = \frac{3}{4} $ - 题目数： $ n = 3 $ - 答对题目数 $ X $ 服从二项分布 $ X \sim \text{Binomial}(3, \frac{3}{4}) $ 2. **计算答对题目数的概率：** \[ P(X = k) = \binom{3}{k} \left( \frac{3}{4} \right)^k \left( \frac{1}{4} \right)^{3-k} \] - $ P(X = 0) = \binom{3}{0} \left( \frac{3}{4} \right)^0 \left( \frac{1}{4} \right)^3 = 1 \times 1 \times \frac{1}{64} = \frac{1}{64} $ - $ P(X = 1) = \binom{3}{1} \left( \frac{3}{4} \right)^1 \left( \frac{1}{4} \right)^2 = 3 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{16} = \frac{9}{64} $ - $ P(X = 2) = \binom{3}{2} \left( \frac{3}{4} \right)^2 \left( \frac{1}{4} \right)^1 = 3 \times \frac{9}{16} \times \frac{1}{4} = \frac{27}{64} $ - $ P(X = 3) = \binom{3}{3} \left( \frac{3}{4} \right)^3 \left( \frac{1}{4} \right)^0 = 1 \times \frac{27}{64} \times 1 = \frac{27}{64} $ 3. **确定总奖金 $ X $ 的分布：** - $ X = 0 \times 800 = 0 $ 元， $ P(X = 0) = \frac{1}{64} $ - $ X = 1 \times 800 = 800 $ 元， $ P(X = 800) = \frac{9}{64} $ - $ X = 2 \times 800 = 1600 $ 元， $ P(X = 1600) = \frac{27}{64} $ - $ X = 3 \times 800 = 2400 $ 元， $ P(X = 2400) = \frac{27}{64} $ 4. **计算数学期望 $ E(X) $：** \[ E(X) = 0 \times \frac{1}{64} + 800 \times \frac{9}{64} + 1600 \times \frac{27}{64} + 2400 \times \frac{27}{64} \] \[ E(X) = 0 + \frac{7200}{64} + \frac{43200}{64} + \frac{64800}{64} \] \[ E(X) = 112.5 + 675 + 1012.5 = 1800 \] ### 最终答案 1. 甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率： $\boxed{\frac{11}{12}}$ 2. 成绩超过93分的员工人数： $\boxed{317}$ 3. 甲获得总奖金的分布列与数学期望： - 分布列： \[ \begin{array}{c|c} X & P(X) \\ \hline 0 & \frac{1}{64} \\ 800 & \frac{9}{64} \\ 1600 & \frac{27}{64} \\ 2400 & \frac{27}{64} \\ \end{array} \] - 数学期望： $ \boxed{1800} $