题目
已知D(X)=4，D(Y)=1，rho xy=0.6，求D(X+Y)，D(3X-2Y)
已知D(X)=4，D(Y)=1，
，求D(X+Y)，D(3X-2Y)
题目解答
答案
解：由题意可知，相关系数,
根据相关系数性质$$\rho_{ XY}=\frac{COV(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}$$
有： $$COV(X,Y)=2×1×0.6=1.2$$,
根据方差的性质：
$$D(X+Y)=D(X)+2COV(X,Y)+D(Y)$$=7.4
$$D(3X−2Y)=9D(X)−12COV(X,Y)+4D(Y)$$=25.6
解析
步骤 1：计算协方差
根据相关系数的定义，我们有：
$$\rho_{XY} = \frac{COV(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$$
代入已知的D(X)=4，D(Y)=1，$\rho_{XY}=0.6$，可以求出协方差COV(X,Y)：
$$COV(X,Y) = \rho_{XY} \cdot \sqrt{D(X)} \cdot \sqrt{D(Y)} = 0.6 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{1} = 0.6 \cdot 2 \cdot 1 = 1.2$$
步骤 2：计算D(X+Y)
根据方差的性质，我们有：
$$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2COV(X,Y)$$
代入已知的D(X)=4，D(Y)=1，COV(X,Y)=1.2，可以求出D(X+Y)：
$$D(X+Y) = 4 + 1 + 2 \cdot 1.2 = 5 + 2.4 = 7.4$$
步骤 3：计算D(3X-2Y)
根据方差的性质，我们有：
$$D(3X-2Y) = 9D(X) + 4D(Y) - 12COV(X,Y)$$
代入已知的D(X)=4，D(Y)=1，COV(X,Y)=1.2，可以求出D(3X-2Y)：
$$D(3X-2Y) = 9 \cdot 4 + 4 \cdot 1 - 12 \cdot 1.2 = 36 + 4 - 14.4 = 25.6$$
根据相关系数的定义，我们有：
$$\rho_{XY} = \frac{COV(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$$
代入已知的D(X)=4，D(Y)=1，$\rho_{XY}=0.6$，可以求出协方差COV(X,Y)：
$$COV(X,Y) = \rho_{XY} \cdot \sqrt{D(X)} \cdot \sqrt{D(Y)} = 0.6 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{1} = 0.6 \cdot 2 \cdot 1 = 1.2$$
步骤 2：计算D(X+Y)
根据方差的性质，我们有：
$$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2COV(X,Y)$$
代入已知的D(X)=4，D(Y)=1，COV(X,Y)=1.2，可以求出D(X+Y)：
$$D(X+Y) = 4 + 1 + 2 \cdot 1.2 = 5 + 2.4 = 7.4$$
步骤 3：计算D(3X-2Y)
根据方差的性质，我们有：
$$D(3X-2Y) = 9D(X) + 4D(Y) - 12COV(X,Y)$$
代入已知的D(X)=4，D(Y)=1，COV(X,Y)=1.2，可以求出D(3X-2Y)：
$$D(3X-2Y) = 9 \cdot 4 + 4 \cdot 1 - 12 \cdot 1.2 = 36 + 4 - 14.4 = 25.6$$