3.简答题计算极限lim_(xto+infty)(sqrt(x^2)+x-sqrt(x^2)-x).

本题考查函数极限的计算，解题思路是先对原式进行有理化，消除分子中的根式，然后通过分子分母同除以自变量的最高次幂，将极限转化为可直接计算的形式。

1. 有理化原式：
   对于$\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x^{2}-x}\right)$，为了消除分子中的根式，我们使用平方差公式$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$，给分子分母同时乘以$\sqrt{x^{2}+x}+\sqrt{x^{2}-x}$，得到：
   $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x} \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x})(\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x})}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}}$
   根据平方差公式，分子$(\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x})(\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x})=(x^2 + x) - (x^2 - x)$，化简可得：
   $\lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2 + x) - (x^2 - x)}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + x - x^2 + x}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}}$
2. 分子分母同除以$x$：
   当$x\to +\infty$时，分子分母都趋于无穷大，为了计算极限，我们给分子分母同时除以$x$。
   因为$x\gt0$，所以$\frac{1}{x}\gt0$，则$\frac{2x}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}}=\frac{2}{\frac{\sqrt{x^2 + x}}{x} + \frac{\sqrt{x^2 - x}}{x}}$。
   又因为$\frac{\sqrt{x^2 + x}}{x}=\sqrt{\frac{x^2 + x}{x^2}}=\sqrt{1 + \frac{1}{x}}$，$\frac{\sqrt{x^2 - x}}{x}=\sqrt{\frac{x^2 - x}{x^2}}=\sqrt{1 - \frac{1}{x}}$，所以原式变为：
   $\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}}$
3. 计算极限：
   当$x\to +\infty$时，$\frac{1}{x}\to 0$，则$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x}}=\sqrt{1 + 0}=1$，$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{1 - \frac{1}{x}}=\sqrt{1 - 0}=1$。
   所以$\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}} = \frac{2}{1 + 1} = 1$。