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数学
题目

4.新入学的大一新生多才多艺,据统计有28%的学生会弹钢琴,有7%的学生会拉小提琴,有5%的学生既会弹钢琴又会拉小提琴.从所有新生中随机选一位,求:(1)该生两种乐器都不会的概率;(2)该生会弹钢琴但不会拉小提琴的概率.

4.新入学的大一新生多才多艺,据统计有28%的学生会弹钢琴,有7%的学生会拉小提琴,有5%的学生既会弹钢琴又会拉小提琴.从所有新生中随机选一位,求: (1)该生两种乐器都不会的概率; (2)该生会弹钢琴但不会拉小提琴的概率.

题目解答

答案

为了解决这个问题,我们需要使用概率的基本原理。设 $A$ 为学生会弹钢琴的事件,$B$ 为学生会拉小提琴的事件。我们已知以下概率:

  • $P(A) = 0.28$
  • $P(B) = 0.07$
  • $P(A \cap B) = 0.05$

(1) 该生两种乐器都不会的概率

首先,我们需要找到学生至少会一种乐器的概率,即 $P(A \cup B)$。根据概率的加法公式,我们有:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

代入已知的值:

$P(A \cup B) = 0.28 + 0.07 - 0.05 = 0.30$

学生至少会一种乐器的概率是 0.30。因此,学生两种乐器都不会的概率是:

$P(\text{两种乐器都不会}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.30 = 0.70$

所以,该生两种乐器都不会的概率是 $\boxed{0.70}$.

(2) 该生会弹钢琴但不会拉小提琴的概率

我们需要找到学生会弹钢琴但不会拉小提琴的概率,即 $P(A \cap B^c)$。这可以表示为:

$P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B)$

代入已知的值:

$P(A \cap B^c) = 0.28 - 0.05 = 0.23$

所以,该生会弹钢琴但不会拉小提琴的概率是 $\boxed{0.23}$.

解析

考查要点:本题主要考查概率的基本运算,特别是事件并集的概率计算和事件差集的概率计算。需要学生掌握加法公式和事件补集的关系。

解题核心思路:

  1. 第一问:通过至少会一种乐器的概率求补集得到两种都不会的概率。关键在于正确应用加法公式计算并集概率。
  2. 第二问:通过会弹钢琴的概率减去同时会两种乐器的概率,直接得到只会弹钢琴的概率。

破题关键点:

  • 明确事件关系:会弹钢琴(事件A)和会拉小提琴(事件B)是非互斥事件,存在交集。
  • 公式选择:第一问用并集公式,第二问用事件差公式。

第(1)题

计算至少会一种乐器的概率

根据加法公式:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
代入已知数据:
$P(A \cup B) = 0.28 + 0.07 - 0.05 = 0.30$

计算两种都不会的概率

两种都不会的概率是至少会一种乐器的补集:
$P(\text{两种都不会}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.30 = 0.70$

第(2)题

计算只会弹钢琴的概率

会弹钢琴但不会拉小提琴的概率等于会弹钢琴的概率减去同时会两种乐器的概率:
$P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B)$
代入已知数据:
$P(A \cap B^c) = 0.28 - 0.05 = 0.23$

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