题目
四、计算题1.某厂生产某种元件，规定厚度为5mm。已知元件的厚度服从正态分布。现从某批产品中随机抽取50件，测得平均厚度为4.91mm，标准差为0.2mm，问在0.05的显著性水平下，该批元件的厚度是否符合规定的要求？（分别用临界值规则和P-值规则进行检验。）
四、计算题
1.某厂生产某种元件，规定厚度为5mm。
已知元件的厚度服从正态分布。现从某批产品中随机抽取50件，测得平均厚度为4.91mm，标准差为0.2mm，问在0.05的显著性水平下，该批元件的厚度是否符合规定的要求？（分别用临界值规则和P-值规则进行检验。）
题目解答
答案
**答案：**
双侧检验问题，原假设 $H_0: \mu = 5$，备择假设 $H_1: \mu \neq 5$。
计算检验统计量：
\[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{4.91 - 5}{0.2 / \sqrt{50}} \approx -3.18 \]
临界值规则：
\[ |Z| = 3.18 > Z_{0.025} = 1.96 \]
P-值规则：
\[ P \approx 2 \times P(Z > 3.18) \approx 0.0014 < 0.05 \]
**结论：**
拒绝 $H_0$，接受 $H_1$，即该批元件的厚度不符合规定的要求。
\[
\boxed{
\begin{array}{l}
\text{拒绝原假设 } H_0, \text{ 接受备择假设 } H_1, \\
\text{即该批元件的厚度不符合规定的要求。}
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：确定假设
原假设 $H_0: \mu = 5$，即元件的平均厚度为5mm。
备择假设 $H_1: \mu \neq 5$，即元件的平均厚度不等于5mm。
步骤 2：计算检验统计量
根据题目给出的数据，样本平均值 $\bar{X} = 4.91$mm，样本标准差 $s = 0.2$mm，样本容量 $n = 50$。由于总体标准差未知，使用样本标准差代替，计算检验统计量 $Z$：
\[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{4.91 - 5}{0.2 / \sqrt{50}} \approx -3.18 \]
步骤 3：临界值规则
在0.05的显著性水平下，双侧检验的临界值为 $Z_{0.025} = 1.96$。比较计算出的检验统计量 $Z$ 的绝对值与临界值：
\[ |Z| = 3.18 > Z_{0.025} = 1.96 \]
步骤 4：P-值规则
计算P值，即在原假设成立的情况下，观察到的检验统计量或更极端值的概率。对于双侧检验，P值为：
\[ P \approx 2 \times P(Z > 3.18) \approx 0.0014 < 0.05 \]
原假设 $H_0: \mu = 5$，即元件的平均厚度为5mm。
备择假设 $H_1: \mu \neq 5$，即元件的平均厚度不等于5mm。
步骤 2：计算检验统计量
根据题目给出的数据，样本平均值 $\bar{X} = 4.91$mm，样本标准差 $s = 0.2$mm，样本容量 $n = 50$。由于总体标准差未知，使用样本标准差代替，计算检验统计量 $Z$：
\[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{4.91 - 5}{0.2 / \sqrt{50}} \approx -3.18 \]
步骤 3：临界值规则
在0.05的显著性水平下，双侧检验的临界值为 $Z_{0.025} = 1.96$。比较计算出的检验统计量 $Z$ 的绝对值与临界值：
\[ |Z| = 3.18 > Z_{0.025} = 1.96 \]
步骤 4：P-值规则
计算P值，即在原假设成立的情况下，观察到的检验统计量或更极端值的概率。对于双侧检验，P值为：
\[ P \approx 2 \times P(Z > 3.18) \approx 0.0014 < 0.05 \]