设X～N(3,22),(1)求P(2＜X≤5),P(|X|＞2),P(X＞3);(2)确定c，使得P(X＞c)=P(X≤c)；(3)设d满足P(X＞d)≥0.9，问d至多为多少？

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算及分位数的应用，涉及标准化转换、标准正态分布表的使用，以及利用对称性求解参数。

解题思路：

1. 标准化转换：将非标准正态分布变量转化为标准正态分布变量$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，利用标准正态分布表计算概率。
2. 概率分解：根据事件的包含关系，将复杂事件分解为简单事件的概率组合。
3. 对称性应用：利用正态分布的对称性确定中位数，或通过分位数求解特定概率对应的临界值。

破题关键：

• 标准化公式：$Z = \frac{X - 3}{2}$。
• 分位数对应关系：通过标准正态分布表查分位数，再反推原变量的临界值。

(1) 求$P\{2 < X \leq 5\}$，$P\{|X| > 2\}$，$P\{X > 3\}$

$P\{2 < X \leq 5\}$

1. 标准化：
   $Z_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1$，$Z_2 = \frac{2 - 3}{2} = -0.5$。
2. 查标准正态分布表：
   $\Phi(1) = 0.8413$，$\Phi(-0.5) = 0.3085$。
3. 计算概率：
   $P\{2 < X \leq 5\} = \Phi(1) - \Phi(-0.5) = 0.8413 - 0.3085 = 0.5328$。

$P\{|X| > 2\}$

1. 分解事件：
   $P\{|X| > 2\} = P\{X > 2\} + P\{X < -2\}$。
2. 标准化：
   • $P\{X > 2\}$对应$Z = \frac{2 - 3}{2} = -0.5$，概率为$1 - \Phi(-0.5) = 1 - 0.3085 = 0.6915$。
   • $P\{X < -2\}$对应$Z = \frac{-2 - 3}{2} = -2.5$，概率为$\Phi(-2.5) = 0.0062$。
3. 求和：
   $P\{|X| > 2\} = 0.6915 + 0.0062 = 0.6977$。

$P\{X > 3\}$

1. 对称性：
   $X$的均值为3，故$P\{X > 3\} = 0.5$。

(2) 确定$c$，使得$P\{X > c\} = P\{X \leq c\}$

1. 等式变形：
   $P\{X \leq c\} = \frac{1}{2}$。
2. 标准化：
   $\frac{c - 3}{2} = 0$（因$\Phi(0) = 0.5$）。
3. 解方程：
   $c = 3$。

(3) 求$d$使得$P\{X > d\} \geq 0.9$

1. 转化为分位数：
   $P\{X \leq d\} \leq 0.1$，对应标准正态分布的$0.1$分位数$z_{0.1} \approx -1.28$。
2. 反推原变量：
   $d = 3 + 2 \times (-1.28) = 0.44$。