题目
设X～N(3,22),(1)求P(2＜X≤5),P(|X|＞2),P(X＞3);(2)确定c，使得P(X＞c)=P(X≤c)；(3)设d满足P(X＞d)≥0.9，问d至多为多少？
设X～N(3,22),(1)求P{2＜X≤5},P{|X|＞2},P{X＞3};(2)确定c，使得P{X＞c}=P{X≤c}；(3)设d满足P{X＞d}≥0.9，问d至多为多少？
题目解答
答案
解析
步骤 1：标准化
首先，将随机变量X标准化，即转换为标准正态分布。由于X～N(3,2^2)，则有Z=(X-3)/2～N(0,1)。
步骤 2：计算P{2＜X≤5}
将X的范围转换为Z的范围，即P{2＜X≤5}=P{(2-3)/2＜(X-3)/2≤(5-3)/2}=P{-0.5＜Z≤1}。利用标准正态分布表，可以查得P{Z≤1}=0.8413，P{Z≤-0.5}=0.3085。因此，P{-0.5＜Z≤1}=P{Z≤1}-P{Z≤-0.5}=0.8413-0.3085=0.5328。
步骤 3：计算P{|X|＞2}
P{|X|＞2}=P{X＞2}+P{X＜-2}。将X的范围转换为Z的范围，即P{X＞2}=P{(X-3)/2＞(2-3)/2}=P{Z＞-0.5}，P{X＜-2}=P{(X-3)/2＜(-2-3)/2}=P{Z＜-2.5}。利用标准正态分布表，可以查得P{Z＞-0.5}=1-P{Z≤-0.5}=1-0.3085=0.6915，P{Z＜-2.5}=0.0062。因此，P{|X|＞2}=P{X＞2}+P{X＜-2}=0.6915+0.0062=0.6977。
步骤 4：计算P{X＞3}
P{X＞3}=P{(X-3)/2＞(3-3)/2}=P{Z＞0}。利用标准正态分布表，可以查得P{Z＞0}=0.5。
步骤 5：确定c，使得P{X＞c}=P{X≤c}
由于P{X＞c}=P{X≤c}，则有P{X＞c}=0.5。将X的范围转换为Z的范围，即P{(X-3)/2＞(c-3)/2}=0.5。利用标准正态分布表，可以查得P{Z＞0}=0.5。因此，(c-3)/2=0，解得c=3。
步骤 6：确定d，使得P{X＞d}≥0.9
由于P{X＞d}≥0.9，则有P{(X-3)/2＞(d-3)/2}≥0.9。利用标准正态分布表，可以查得P{Z＞1.2816}=0.9。因此，(d-3)/2≤1.2816，解得d≤5.5632。
首先，将随机变量X标准化，即转换为标准正态分布。由于X～N(3,2^2)，则有Z=(X-3)/2～N(0,1)。
步骤 2：计算P{2＜X≤5}
将X的范围转换为Z的范围，即P{2＜X≤5}=P{(2-3)/2＜(X-3)/2≤(5-3)/2}=P{-0.5＜Z≤1}。利用标准正态分布表，可以查得P{Z≤1}=0.8413，P{Z≤-0.5}=0.3085。因此，P{-0.5＜Z≤1}=P{Z≤1}-P{Z≤-0.5}=0.8413-0.3085=0.5328。
步骤 3：计算P{|X|＞2}
P{|X|＞2}=P{X＞2}+P{X＜-2}。将X的范围转换为Z的范围，即P{X＞2}=P{(X-3)/2＞(2-3)/2}=P{Z＞-0.5}，P{X＜-2}=P{(X-3)/2＜(-2-3)/2}=P{Z＜-2.5}。利用标准正态分布表，可以查得P{Z＞-0.5}=1-P{Z≤-0.5}=1-0.3085=0.6915，P{Z＜-2.5}=0.0062。因此，P{|X|＞2}=P{X＞2}+P{X＜-2}=0.6915+0.0062=0.6977。
步骤 4：计算P{X＞3}
P{X＞3}=P{(X-3)/2＞(3-3)/2}=P{Z＞0}。利用标准正态分布表，可以查得P{Z＞0}=0.5。
步骤 5：确定c，使得P{X＞c}=P{X≤c}
由于P{X＞c}=P{X≤c}，则有P{X＞c}=0.5。将X的范围转换为Z的范围，即P{(X-3)/2＞(c-3)/2}=0.5。利用标准正态分布表，可以查得P{Z＞0}=0.5。因此，(c-3)/2=0，解得c=3。
步骤 6：确定d，使得P{X＞d}≥0.9
由于P{X＞d}≥0.9，则有P{(X-3)/2＞(d-3)/2}≥0.9。利用标准正态分布表，可以查得P{Z＞1.2816}=0.9。因此，(d-3)/2≤1.2816，解得d≤5.5632。