题目
1、极限lim_(xto0^+)(1-e^frac(1)/(x))(x+e^(1)/(x))=(1).
1、极限$\lim_{x\to0^{+}}\frac{1-e^{\frac{1}{x}}}{x+e^{\frac{1}{x}}}$=(1).
题目解答
答案
将分子和分母同时除以 $e^{\frac{1}{x}}$，得 $\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{-\frac{1}{x}} - 1}{\frac{x}{e^{\frac{1}{x}}} + 1}.$ 当 $x \to 0^+$ 时，$e^{-\frac{1}{x}} \to 0$，$\frac{x}{e^{\frac{1}{x}}} \to 0$，故极限为 $\frac{0 - 1}{0 + 1} = -1.$ 答案： $\boxed{-1}$
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是处理含有指数函数的分式极限。关键在于识别主导项并进行适当的变形。
解题思路：当$x \to 0^+$时，$\frac{1}{x} \to +\infty$，导致$e^{\frac{1}{x}}$增长极快。此时分子和分母中的其他项（如$x$和$1$）可以忽略，但直接代入会导致$\frac{-\infty}{+\infty}$型不定式。核心方法是将分子分母同时除以$e^{\frac{1}{x}}$，简化表达式后分析各部分的极限。
破题关键：通过变形将极限转化为$\frac{0 - 1}{0 + 1}$的形式，从而快速得出结果。
将分子和分母同时除以$e^{\frac{1}{x}}$，原式变形为：
$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{-\frac{1}{x}} - 1}{\frac{x}{e^{\frac{1}{x}}} + 1}$
分析各部分极限：
- 分子部分：$e^{-\frac{1}{x}} \to 0$（因$-\frac{1}{x} \to -\infty$），故分子为$0 - 1 = -1$。
- 分母部分：$\frac{x}{e^{\frac{1}{x}}} \to 0$（因分母$e^{\frac{1}{x}}$增长远快于分子$x$），故分母为$0 + 1 = 1$。
因此，极限值为$\frac{-1}{1} = -1$。