题目
9.设从总体 approx N(mu ,(sigma )^2) 中抽取容量为18的样本,μ,σ^2未知。-|||-(1)求 ((S)^2(|)^2leqslant 1.2052), 其中 ^2=dfrac (1)(n-1)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2; (2)求D(S^2)。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定分布
由于 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，且样本容量为18，根据统计学原理，样本方差 ${S}^{2}$ 与总体方差 ${\sigma }^{2}$ 的比值 $\dfrac{{S}^{2}}{{\sigma }^{2}}$ 服从自由度为 $n-1=17$ 的卡方分布，即 $\dfrac{{S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\sim \chi ^{2}(17)$。
步骤 2：计算概率
根据卡方分布的性质，$P\{ \dfrac {{S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\leqslant 1.2052\}$ 可以通过查卡方分布表或使用统计软件来计算。对于自由度为17的卡方分布，当 $\dfrac{{S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\leqslant 1.2052$ 时，对应的累积概率为0.7500。
步骤 3：计算方差
样本方差 ${S}^{2}$ 的方差 $D({S}^{2})$ 可以通过公式 $D({S}^{2})=\dfrac{2{\sigma }^{4}}{n-1}$ 来计算，其中 $n$ 是样本容量。将 $n=18$ 代入公式，得到 $D({S}^{2})=\dfrac{2{\sigma }^{4}}{17}$。
由于 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，且样本容量为18，根据统计学原理，样本方差 ${S}^{2}$ 与总体方差 ${\sigma }^{2}$ 的比值 $\dfrac{{S}^{2}}{{\sigma }^{2}}$ 服从自由度为 $n-1=17$ 的卡方分布，即 $\dfrac{{S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\sim \chi ^{2}(17)$。
步骤 2：计算概率
根据卡方分布的性质，$P\{ \dfrac {{S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\leqslant 1.2052\}$ 可以通过查卡方分布表或使用统计软件来计算。对于自由度为17的卡方分布，当 $\dfrac{{S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\leqslant 1.2052$ 时，对应的累积概率为0.7500。
步骤 3：计算方差
样本方差 ${S}^{2}$ 的方差 $D({S}^{2})$ 可以通过公式 $D({S}^{2})=\dfrac{2{\sigma }^{4}}{n-1}$ 来计算，其中 $n$ 是样本容量。将 $n=18$ 代入公式，得到 $D({S}^{2})=\dfrac{2{\sigma }^{4}}{17}$。