3.求极限lim_(xto0^+)(int_(0)^sqrt(x)[int_(0)^u^(2)ln(1+cos t)dt]du)/(sin x(e^sqrt(x))-1)

将原式分子和分母分别进行等价无穷小替换。
分母：
$\sin x \sim x, \quad e^{\sqrt{x}} - 1 \sim \sqrt{x}, \quad \text{故} \quad \sin x(e^{\sqrt{x}} - 1) \sim x^{3/2}.$
分子：
设 $F(x) = \int_{0}^{\sqrt{x}} \left[ \int_{0}^{u^2} \ln(1 + \cos t) \, dt \right] du$，则
$F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \int_{0}^{x} \ln(1 + \cos t) \, dt.$
由泰勒展开，$\ln(1 + \cos t) \sim \ln 2 - \frac{t^2}{4}$，故
$\int_{0}^{x} \ln(1 + \cos t) \, dt \sim x \ln 2,$
从而
$F'(x) \sim \frac{\sqrt{x}}{2} \ln 2, \quad F(x) \sim \frac{\ln 2}{3} x^{3/2}.$
因此，原极限为
$\lim_{x \to 0^+} \frac{F(x)}{x^{3/2}} = \frac{\ln 2}{3}.$
答案： $\boxed{\frac{\ln 2}{3}}$